Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Navarra Extraordinaria 2024

Tema: Matrices y determinantes: propiedades, rango, inversa y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

Sean AA, PP y QQ tres matrices cuadradas regulares tales que Q⋅A⋅P=IQ \cdot A \cdot P = I, donde II es la matriz identidad de la misma dimensión.

a)

Demuestra que A⋅P⋅Q⋅A=Q−1⋅P−1A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1} [1,5 puntos]

b)

Calcula la matriz AA para el caso en que PP y QQ sean las siguientes:

P=(−112−1)yQ=(1012)P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad\text{y}\quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

a11=a_{11} = a12=a_{12} =

a21=a_{21} = a22=a_{22} =

Enunciado: Ejercicio P2 · Matemáticas II PAU Navarra Extraordinaria 2024

Solución

Solución de AprenAI (no es la oficial)

a) Demuestra que A⋅P⋅Q⋅A=Q−1⋅P−1A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}

Solución: Multiplicando Q⋅A⋅P=IQ \cdot A \cdot P = I por la izquierda por Q−1Q^{-1} y por la derecha por P−1P^{-1}, se tiene A=Q−1⋅P−1A = Q^{-1} \cdot P^{-1}. Por tanto, A⋅P⋅Q⋅A=(Q−1⋅P−1)⋅P⋅Q⋅(Q−1⋅P−1)=Q−1⋅(P−1⋅P)⋅(Q⋅Q−1)⋅P−1=Q−1⋅I⋅I⋅P−1=Q−1⋅P−1A \cdot P \cdot Q \cdot A = (Q^{-1} \cdot P^{-1}) \cdot P \cdot Q \cdot (Q^{-1} \cdot P^{-1}) = Q^{-1} \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot (Q \cdot Q^{-1}) \cdot P^{-1} = Q^{-1} \cdot I \cdot I \cdot P^{-1} = Q^{-1} \cdot P^{-1}.

b) Elemento a11a_{11} de la matriz AA

Solución: 1

b) Elemento a12a_{12} de la matriz AA

Solución: 1

Las soluciones de los 2 apartados que faltan y la explicación paso a paso son Premium. Premium

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