Ejercicio 2.2 - Matrices ortogonales · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2026

Enunciado

2.2 Decimos que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su matriz inversa coincide con su matriz transpuesta. Se pide:

2.2.1

(0.75 puntos) Comprobar que para todo valor real $\alpha$ la matriz

$A = \begin{pmatrix}\cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix}$

es ortogonal.

2.2.2

(0.75 puntos) Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la matriz

$B = \begin{pmatrix}0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0\\ b & 0 & 0\end{pmatrix}$

sea ortogonal. ¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen?

2.2.3

(1 punto) Resuelve la ecuación matricial con incógnita $X$

$BX + \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\\ 1 & 0\end{pmatrix},$

donde B es una matriz ortogonal como la del apartado anterior.

Enunciado: Ejercicio 2.2 - Matrices ortogonales · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2026

Según los criterios oficiales de corrección

2.2.1 Comprobar que para todo valor real $\alpha$ la matriz $A$ es ortogonal.

Solución: $A\,A^t = A^t A = I$ para todo $\alpha \in \mathbb{R}$ , luego $A^{-1} = A^t$ y $A$ es ortogonal.

2.2.2 Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la matriz $B$ sea ortogonal (valores de $a$ ).

Solución: $a = 1$ o $a = -1$ ( $a = \pm 1$ )

2.2.2 Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la matriz $B$ sea ortogonal (valores de $b$ ).

Solución: $b = 1$ o $b = -1$ ( $b = \pm 1$ )

¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen?

Solución: 4

2.2.3 Resuelve la ecuación matricial con incógnita $X$ , donde B es una matriz ortogonal como la del apartado anterior.

Solución: $X = \begin{pmatrix}0 & -b\\ 0 & 1\\ a & a\end{pmatrix}$ (por filas: $(0, -b;\ 0, 1;\ a, a)$ )

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