Problema 7 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2023

a) (1 punto) Calcula la matriz $A^n$ para $n \in \mathbb{N}$.

Solución: Las potencias son periódicas de periodo 3 (o bien $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $A^3 = I$): para $n = 3k$, $A^n = I$; para $n = 3k+1$, $A^n = A$; para $n = 3k+2$, $A^n = A^2$.

b) (1 punto) Resuelve la ecuación $(A + 2I) X = B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 2.

Solución: $X = \begin{pmatrix} -11 & 14 \\ 30 & -37 \end{pmatrix}$