Problema 2 · Matemáticas II PAU Murcia Ordinaria 2024

2: Se dice que una matriz cuadrada $A$ de orden 2 es una matriz de Hadamard si está formada solo por 1's y -1's y cumple que $A \cdot A^t = 2I$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ denota la matriz identidad de orden 2.

a)

[1] Determine cuál de las siguientes matrices es de Hadamard:$$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

b)

[0,75] Si $A$ es una matriz de Hadamard cualquiera de orden 2, calcule razonadamente su determinante.

c)

[0,75] Justifique que toda matriz $A$ de Hadamard de orden 2 es regular (o invertible) y obtenga una expresión para su inversa en términos de $A^t$.