Ejercicios de Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos

36 ejercicios de Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de…

Pregunta 3 - Apartado 3.1 · Extraordinaria 2026

Pregunta 3.1: dados A(0,−1,0), B(1,0,1) y v = (2,−1,1): 3.1.1 plano π perpendicular a v que pasa por A; 3.1.2 recta perpendicular a π que pasa por B; 3.1.3 punto C de π más cercano a B; 3.1.4 distancia de B a π.

Pregunta 3 - Apartado 3.2 · Extraordinaria 2026

Dado el plano π: 2x+3y-z=0 y los puntos A(0,0,0), B(10,0,-20), C(0,15,-30) y D(1,2,-1): 3.2.1) Estudiar si el triángulo ABC está contenido en π. 3.2.2) Coordenadas de la proyección de D sobre el plano formado por A, B y C. 3.2.3) Distancia de D al plano π.

Ejercicio 3 - Apartado 3.1 · Extraordinaria solapamiento 2026

Dados los puntos A(1,−2,1) y B(3,4,3) y la recta r ≡ x/2 = (y−2)/(−1) = z−1: 3.1.1 hallar la ecuación del plano π1 respecto al cual A y B son simétricos; 3.1.2 comprobar que r está contenida en π1; 3.1.3 hallar la ecuación del plano π2 que contiene a A y cuya intersección con π1 es r.

Ejercicio 3 - Apartado 3.2 - Problemas métricos · Extraordinaria solapamiento 2026

Dados el plano π: −2x + y + 2z + 1 = 0 y el punto P(1,−2,0): 3.2.1 calcular la distancia de P a π; 3.2.3 determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte de π con los tres ejes coordenados.

Ejercicio 3 - Apartado 3.2 - Rectas y planos · Extraordinaria solapamiento 2026

Dados el plano π: −2x + y + 2z + 1 = 0 y el punto P(1,−2,0), escribir una ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por P.

Ejercicio 3.1 - Recta y plano · Ordinaria 2026

Dada la recta r: x/2 = (y+1)/(-1) = (z-1)/1 y el plano π: 2x + my + z - 3 = 0, se pide: 3.1.1 (0.5 puntos) el valor de m para el que π y r son perpendiculares; 3.1.2 (0.75 puntos) el valor de m para el que π y r son paralelos; 3.1.3 (1.25 puntos) calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre π y r en…

Ejercicio 3.2 - Plano perpendicular · Ordinaria 2026

Consideramos la recta s del espacio dada en el contexto. Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y es perpendicular a s.

Ejercicio 3.2 - Distancias y ángulos · Ordinaria 2026

Consideramos la recta s del espacio de ecuación (x-1)/0 = y-1 = (z-1)/(-1). Se pide: 3.2.2 (1 punto) Encontrar los puntos de la recta s que están a distancia 4 del origen. 3.2.3 (1 punto) Calcular el ángulo que forma la recta s con el eje Z.

Ejercicio 3.1 - Rectas y planos · Ordinaria solapamiento 2026

Sean las rectas r: {2x + y = a, z = 1} y s: {−x + 2y + 2z = 5, x + z = a}. 3.1.1 Estudiar, según el valor de a, la posición relativa de las dos rectas. 3.1.2 Calcular, si es posible, el valor de a para que las rectas se corten y encontrar el punto de corte P. 3.1.3 Calcular la distancia entre el origen de coordenadas…

Ejercicio 3.2 - Rectas y planos · Ordinaria solapamiento 2026

Dado el plano π: 2x + y − 3 = 0 y la recta r: x = 1 + α, y = −1 − 2α, z = 1. 3.2.1 Obtener la ecuación del plano π1 perpendicular a π que contiene a r. 3.2.2 Calcular, si existe, un plano π2 paralelo a π que contenga a r.

Pregunta 3.1 · Extraordinaria 2025

Dados los planos π₁: x + 2y + mz = -1 y π₂: x + z = 6: 3.1.1 Encontrar el valor de m para el que son perpendiculares. 3.1.2 Encontrar el valor de m para el que forman un ángulo de 45°. 3.1.3 Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de π₁ y π₂.

Pregunta 3.2 · Extraordinaria 2025

Dado el plano π: 3x + y - z = 2 y los puntos P = (0, 1, -1) y Q = (1, a, 1): 3.2.1 Los valores del parámetro a para los que la recta que pasa por P y Q está contenida en π. 3.2.2 Para a = 1, el punto simétrico de Q respecto del plano π.

Pregunta 3 - Apartado 3.1 · Extraordinaria DANA 2025

Dados los planos pi_1: 2x - a^2y - az = a - 1 y pi_2: (a - 1)x - ay - z = a: 3.1.1 (1.5 puntos) Estudiar en función de a si los planos coinciden, son paralelos no coincidentes o se cortan. 3.1.2 (0.5 puntos) Para a = 0, calcular el ángulo entre los planos. 3.1.3 (0.5 puntos) Para a = 0, calcular la distancia entre P =…

Pregunta 3 - Apartado 3.2 · Extraordinaria DANA 2025

Dado el plano π: 2x + y - 3 = 0 y la recta r dada en forma paramétrica (x = 1 + α, y = -1 - 2α, z = 1), obtener en 3.2.1 la ecuación del plano perpendicular a π que contiene a r, y en 3.2.2 calcular, si existe, un plano paralelo a π que contenga a r.

Ejercicio 3.1 · Extraordinaria solapamiento 2025

Dado el plano pi: 2x - z = 1, calcular el plano perpendicular a pi que contiene a la recta r: {2x - y = 0, z = y} y los planos paralelos a pi a distancia 2 del punto P = (0,1,2).

Ejercicio 3.2 · Extraordinaria solapamiento 2025

Se considera el plano π: 2x + 3y - z = 0 y los puntos A(0,0,0), B(10,0,-20), C(0,15,-30) y D(1,2,-1). Se pide: 3.2.1 Comprobar si el triángulo ABC pertenece al plano π. 3.2.2 Calcular la distancia del punto D al plano π. 3.2.3 Calcular las coordenadas de la proyección del punto D sobre el plano formado por los puntos…

Pregunta 3 - Opción 3.1 · Ordinaria 2025

Dada la recta r y la recta s, calcular el punto de corte de ambas rectas, la ecuación del plano que contiene a ambas y la distancia del punto P=(1,0,2) a dicho plano.

Pregunta 3 - Opción 3.2 · Ordinaria 2025

Dado el plano pi: 3x - y + 2z = 4 y el punto P = (-1,0,1), calcular el plano perpendicular a pi que pasa por P y Q=(2,1,2), la distancia de Q a pi y el punto simétrico de P respecto a pi.

Pregunta 3 - Apartado 3.1 · Ordinaria solapamiento 2025

Pregunta 3.1: Dados el plano π ≡ 2x + ay - z + 3 = 0 y la recta r dada por intersección de planos, calcular: 3.1.1 la distancia de (3,1,-2) a π en función de a; 3.1.2 el ángulo entre r y π para a = 4; 3.1.3 el punto simétrico de (9/2, 5, -1) respecto a π para a = 3.

Pregunta 3 - Apartado 3.2 · Ordinaria solapamiento 2025

Pregunta 3.2: Dada la recta r: (x+1)/2 = (y-2)/3 = z/α y la recta s dada por intersección de planos, calcular: 3.2.1 el valor de α para que r y s sean perpendiculares; 3.2.2 la recta paralela a s que pasa por el punto de r con z = 0.

Problema 3 · Extraordinaria 2024

Dadas dos rectas r y s en el espacio, comprobar que se cortan, hallar el punto P de intersección y determinar la recta perpendicular a ambas que pasa por P.

Problema 4 · Extraordinaria 2024

Dado el plano 6x + 4y - 3z - d = 0, calcular d para que dist(O, π)=1, hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas y el ángulo entre AB y AC.

Problema 3 · Ordinaria 2024

Problema 3: Recta r y plano pi. Determinar valor de m para que sean paralelos y para que el plano contenga a la recta. Hallar plano paralelo que contenga a r. Calcular distancia entre pi y el punto P en función de m.

Problema 4 · Ordinaria 2024

Dado un cuadrado con vértices P=(2,1,3) y Q=(1,3,1) y los otros dos vértices en una recta r que pasa por R=(4,7,6), hallar la recta r, el plano del cuadrado y los otros dos vértices.

Problema 3 · Extraordinaria 2023

Con A = (2, −1, 0), B = (1, 2, 3) y C = (−1, 0, 0): a) ecuación implícita de la recta r que pasa por A y B; b) plano π perpendicular a r que contiene a C; c) distancia de A a π.

Problema 4 · Extraordinaria 2023

Recta r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(−1, −1, 2) y plano π: 5x + my + z = 2. a) Posición relativa de r y π según m. b) Para m = 1, plano π' que contiene a r y es perpendicular a π.

Problema 3 · Ordinaria 2023

Recta r: x − y = 1, x + 2y + z = 0 y puntos P = (0,0,3), Q = (2,2,a). a) Valores de a para los que r y la recta PQ son paralelas. b) Plano perpendicular a r que pasa por P.

Problema 4 · Ordinaria 2023

Recta r: 5x + y + 7z = 16, 9x − y + 7z = 12 y punto P = (0,5,2). a) Comprobar que Q = (2,6,0) está en r y hallar la recta s por P y Q. b) Ángulo entre r y s. c) Proyección ortogonal de P sobre r.

Problema 3 · Extraordinaria 2022

Dados A=(2,0,0), B=(0,1,0) y s: (x-1)/2 = (y-1)/3 = z. a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A y B. b) Ecuación implícita del plano que contiene a s y es paralelo a r. c) Distancia de A a s.

Problema 4 · Extraordinaria 2022

Dados A=(2,1,-2), B=(3,2,3) y π: 2x+2y+z=3. a) Punto C de corte entre π y la recta perpendicular a π por B. b) Área del triángulo de vértices A, B y C.

Problema 3 · Ordinaria 2022

Dadas las rectas r y s en el espacio: a) Indicar la posición relativa de r y s. b) Hallar la ecuación de la recta l que pasa por el origen y corta a r y s.

Problema 4 · Ordinaria 2022

Dados los planos pi_1 y pi_2, y la recta r: a) Calcular la posición relativa de pi_1 y pi_2. b) Calcular el simétrico de P(1,0,0) respecto de pi_1. c) Calcular la intersección de pi_1 y r.

Problema 2 · Extraordinaria 2021

Posición relativa de dos rectas r y s, obtención del parámetro m para que r esté en el plano π, y puntos de intersección con los ejes y volumen del tetraedro.

Problema 5 · Extraordinaria 2021

Dados los puntos P(1,1,0), Q(2,-1,1) y R(alpha,3,-1), halla la ecuación del plano que los contiene para alpha=1 y la distancia al origen; la recta paralela a s que pasa por R y la distancia entre rectas; y el valor de alpha para el que están alineados con la recta que los contiene.

Problema 2 · Ordinaria 2021

Posición relativa de los planos π1, π2 y π3 en función del parámetro a, y cálculo de las rectas de corte para a=1 y a=2.

Problema 5 · Ordinaria 2021

Dados el punto P(1,2,3) y el plano π: 3x+2y+z+4=0, calcular la distancia de P a π, el punto simétrico P' de P respecto a π, y la ecuación del plano paralelo a π por P'.

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