Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2021

Tema: Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos · Del examen Ordinaria (2021)

Enunciado

Problema 2. Se dan los planos π1:x+y+z=a−1\pi_1: x + y + z = a - 1, π2:2x+y+az=a\pi_2: 2x + y + az = a y π3:x+ay+z=1\pi_3: x + ay + z = 1.

a)

Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro aa. (4 puntos)

b)

Para a=1a = 1, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1\pi_1 y π3\pi_3. (3 puntos)

c)

Para a=2a = 2, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1\pi_1 y π2\pi_2. (3 puntos)

Enunciado: Problema 2 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro a.

Solución: El determinante del sistema correspondiente a las ecuaciones de los tres planos es Δ=(1−a)(a−2)\Delta = (1 - a)(a - 2). Si a≠1,2a \neq 1, 2 los tres planos se cortan en un punto. Si a=1a = 1, π1\pi_1 y π3\pi_3 son paralelos y π2\pi_2 corta a ambos. Si a=2a = 2 los tres planos se cortan en una recta.

b) Para a = 1, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1 y π3.

Solución: No existe.

c) Para a = 2, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1 y π2.

Solución: Recta {x+z=1y=0\begin{cases} x + z = 1 \\ y = 0 \end{cases} (o bien (x,y,z)=(1−λ,0,λ)(x, y, z) = (1 - \lambda, 0, \lambda) con λ∈R\lambda \in \mathbb{R}).

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