Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2021

Tema: Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos · Del examen Extraordinaria (2021)

Enunciado

Dados los puntos P(1,1,0)P(1,1,0), Q(2,−1,1)Q(2,-1,1) y R(α,3,−1)R(\alpha,3,-1) se pide:

a)

La ecuación del plano que contiene a PP, QQ y RR cuando α=1\alpha = 1 y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.

(3 puntos)

b)

La ecuación de la recta rr que pasa por RR cuando α=1\alpha = 1 y es paralela a la recta ss que pasa por PP y QQ. Calculad la distancia entre las rectas rr y ss.

(4 puntos)

c)

Los valores de α\alpha para los cuales PP, QQ y RR están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.

(3 puntos)

Enunciado: Problema 5 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Ecuación del plano que contiene a P, Q y R cuando alpha = 1

Solución: y+2z−1=0y + 2z - 1 = 0

a) Distancia de dicho plano al origen de coordenadas

Solución: 55\frac{\sqrt{5}}{5}

b) Ecuación de la recta r que pasa por R cuando alpha = 1 y es paralela a s

Solución: x−11=y−3−2=z+11\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+1}{1}

b) Distancia entre las rectas r y s

Solución: d(r,s)=56d(r,s) = \sqrt{\frac{5}{6}}

c) Valor de alpha para el cual P, Q y R están alineados

Solución: α=0\alpha = 0

c) Ecuación de la recta que los contiene

Solución: x−11=y−1−2=z1\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{1}

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