Problema 4 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2023

Enunciado

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Problema 4. Dada la recta $r: \begin{cases} 5x + y + 7z = 16 \\ 9x - y + 7z = 12 \end{cases}$ y el punto $P = (0,5,2)$ se pide:

Comprobar que el punto $Q = (2,6,0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ . (2 puntos)

Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ . (3 puntos)

Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ . (5 puntos)

Enunciado: Problema 4 · Matemáticas II PAU Valencia Ordinaria 2023

Según los criterios oficiales de corrección

a) Comprobar que el punto $Q = (2,6,0)$ pertenece a la recta $r$

Solución: $5\cdot 2 + 6 + 7\cdot 0 = 16$ y $9\cdot 2 - 6 + 7\cdot 0 = 12$ : $Q$ cumple las dos ecuaciones, luego pertenece a $r$ .

a) [...] y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .

Solución: $s: (x,y,z) = (0,5,2) + \lambda(2,1,-2)$

b) Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ .

Solución: $\arccos\left(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right) = 35{,}264$ ° / $0{,}6155$ rad

c) Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ .

Solución: $(1,4,1)$

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