Abitur NRW Mathematik 2017
Aufgaben Mathematik aus dem IQB-Pool 2017 für das Abitur in Nordrhein-Westfalen: GK · Teil A · Analysis. Mit Lösung zu jeder Aufgabe.
GK · Teil A · Analysis (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 a · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in seinem Schnittpunkt mit der y-Achse. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Zeichnen Sie in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von f, der x-Achse, der y-Achse sowie einer zur y-Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa 1,5… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 a · Funktionen und ihre Eigenschaften
Gegeben ist f(x) = x^3 + 2x^2. Bestätigen Sie, dass x1 = -2 und x2 = 0 die einzigen Nullstellen von f sind. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = x^3 + 2x^2. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt. - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe a · Graphen von f, f′ und F deuten
Die Abbildung zeigt die Graphen einer Funktion und deren erster Ableitungsfunktion. Geben Sie an, welcher der beiden Graphen I und II die Ableitungsfunktion darstellt, und begründen Sie Ihre Angabe. - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe b · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Für einen Wert von k mit k ∈ ℝ+ wird die Funktion f(x) = k·sin(x) betrachtet. Für 0 ≤ x ≤ π schließt der Graph von f mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt 1/2 ein. Bestimmen Sie den Wert…
GK · Teil A · Analytische Geometrie (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 a - Geraden und Eben… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Zeigen Sie, dass A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks sind, und geben Sie eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Dreieck liegt. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b - Längen, Winkel u… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Das Dreieck ABD ist im Punkt B rechtwinklig. Ermitteln Sie den Wert von d. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Gegeben ist das Quadrat ABCD in der Ebene z = 4 mit A(3|3|4), B(6|7|4), C(2|10|4) und D(-1|6|4). a) Weisen Sie nach, dass das Quadrat den Flächeninhalt 25 besitzt. b) Bestimmen Sie die z-Koordinate… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Parameter a für Orthogonalität der Strecke PQ zur Geraden bestimmen und Wertepaare mit gleichem Abstand von Q ermitteln.
GK · Teil A · Lineare Algebra (2017)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung der Definiertheit der Terme A + B und A · B für Matrizen A (3x2) und B (2x2) mit Begründung sowie Bestimmung der Einträge a, b, c, d einer Matrix C mit B · C = E.
GK · Teil A · Stochastik (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeiten und Parameter einer binomialverteilten Zufallsgröße bestimmen: a) P(5 <= X <= 7) aus dem Diagramm ablesen und berechnen, b) Parameter n und p aus Erwartungswert E(X) = 6 und… - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Für ein zweistufiges Zufallsexperiment werden eine Münze und zwei Würfel (A mit 1 bis 6, B mit je zweimal 1, 2 und 3) geworfen. a) Baumdiagramm zeichnen [3 BE]. b) Wahrscheinlichkeit berechnen, dass… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Zufallsexperiment mit Urne U1 (4 rote, 2 gelbe Kugeln) und U2 (2 rote, 1 gelbe, 1 blaue Kugel). a) Term für die Wahrscheinlichkeit angeben, dass bei zufälliger Urnenwahl und zweimaligem Ziehen mit…
GK · Teil B · Analysis (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 1a, 1c und 1d: Bestimmung von Funktionswerten f(0) und f(2) inklusive prozentualer Abweichung von Messwerten, Skizzieren des Graphen von f, Grenzwertbetrachtung für t gegen unendlich und… - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1b und 1f: Bestimmung des Hochpunkts der Funktion f mittels Ableitung f'(t) = 0 und Vergleich mit den tabellierten Messwerten; Bestimmung des Zeitpunkts und Betrags der maximalen… - Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe 1e: Bestimmung der Parameter b und c der Funktion h(t) = 23 + b * e^(c*t) aus den Bedingungen h(20) = 77 und h'(20) = -3,5. - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 2a und 2b: Graphen A, B, C den Parametern k = 0,5, k = 2 und k = 5 zuordnen sowie begründen, dass Graph D nicht zur Funktionsschar f_k gehören kann. - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 2c und 2d: Berechnen des Parameters k für eine Höchsttemperatur von 98 °C sowie Bestimmung der Koordinaten des Wendepunkts in Abhängigkeit von k und Interpretation der x-Koordinate im… - Aufgabe 2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Der Graph in Abbildung 2 zeigt die Änderungsrate der Temperatur. Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Änderung der Temperatur in den ersten vier Minuten und geben Sie an, ob sie zu- oder…
GK · Teil B · Analysis (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 1a, 1b, 1c, 1f und 1g: Bestimmung von Höhenunterschied, Profilbreite, Interpretation von f(x+3)=f(x), sowie Länge, Steigung und Auflageabstand einer Brücke. - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1d, 1e und 1h: Herleitung der Ableitungsfunktion f', Bestimmung der maximalen Wassertiefe und Berechnung des maximalen Neigungswinkels im Intervall. - Aufgabe 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe 1i: Berechnung der Durchflussrate des Flusses als Produkt aus Querschnittsfläche (bestimmtes Integral von f zwischen -4,7 und -0,6) und Fließgeschwindigkeit (0,5 m/s). - Aufgabe 2 · Graphen von f, f′ und F deuten
Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion vierten Grades anhand ihres Graphen beurteilen und begründen: keine weiteren Extrempunkte, Schnittpunkte mit horizontalen Geraden g(x)=a mit 3 Lösungen,…
GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a-d und f: Pfostentiefe im Untergrund, Koordinaten von H und Quadratnachweis, Symmetriebegründung der Dachpyramide, Inhalt der Dachfläche und Teilungsverhältnis des… - Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der vom Punkt T(0|0|5,5) ausgehenden Lichtstrahlgeraden mit der Dachkante EF. - Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe 2 (Teilaufgaben a-c, e, g): Zeichnung der Pyramide ABCDS; Begründung ohne Vektoren, dass die Grundfläche ein Quadrat ist; Flächeninhalt einer Seitenfläche; Neigungswinkel einer Zeltwand;… - Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Aufgabe 2 (Teilaufgaben d und f): Bestimmung der Koordinatengleichung der Ebene E durch A, B und S sowie Bestimmung der Koordinaten x_L und y_L eines Lochs in der Zeltwand anhand des…
GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 (Pagode) - Längen, Winkel und Abstände… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, b, c und e: Kanten der unteren Dachetage im Koordinatensystem einzeichnen, Trapezeigenschaft und Nicht-Parallelogramm des Vierecks A1B1B2A2 rechnerisch nachweisen, Mittelpunkte M1, M2… - Aufgabe 1 (Pagode) - Geraden und Ebenen: Gleichun… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben d und f: Schnittpunkt der Geraden durch A1 und A2 mit der z-Achse berechnen sowie aus sechs gegebenen Ebenengleichungen die der mittleren und oberen Dachetage der Südseite begründet… - Aufgabe 1 (Solarmodule) - Geraden und Ebenen: Gle… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben a, d und f: Lage der Gerade AB bezüglich der x1x2-Ebene begründen, Koordinatenform der Ebene E durch das Rechteck ABCD ermitteln und Gleichung der das Metallrohr modellierenden Strecke… - Aufgabe 1 (Solarmodule) - Längen, Winkel und Abst… · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben b, c, e und g: Mittelpunkt der Strecke AC und Orthogonalität des Dreiecks ABC bei B nachweisen, Koordinaten von D ermitteln, Neigungswinkel der Modulfläche berechnen und Bedingung prüfen…
GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung der Bestandsentwicklung einer Wolfspopulation mithilfe von Übergangsmatrizen und Übergangsdiagrammen (Aufgaben a bis g). - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Gegeben ist die Matrix N und Vektoren u. a) Zeigen Sie, dass es keinen Vektor u ≠ 0 gibt, für den N · u = 0 gilt. b) Für einen Vektor u gilt |u|² = 1800. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung N ·…
GK · Teil B · Stochastik (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Ein Händler erhält eine Lieferung von 50 Smartphones in sechs Farben, von denen drei fehlerhaft sind. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, vier Farben für das Schaufenster auszuwählen, sowie… - Aufgabe 2 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte W… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
2a: Weisen Sie nach, dass der Gesamtausschussanteil über alle Werke 3 % beträgt. 2b: Ein fehlerhaftes Gerät wurde ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es im Werk A hergestellt wurde. - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2c: Ermitteln Sie unter 250 Geräten aus Werk A die wahrscheinlichste Anzahl fehlerhafter Geräte. 2d: Geben Sie den Wert s für den Term 200 · 0,98^s · 0,02 + 0,98^200 an und beschreiben Sie das…
GK · Teil B · Stochastik (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabe 1 · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Smartphone-Lieferung: Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, 4 aus 6 Farben auszuwählen. Bei 50 Geräten mit 3 fehlerhaften die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass unter 10 zufällig ausgewählten keines… - Aufgabe 2 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte W… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 2a: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit für fehlerhafte Geräte anwenden und 3 % nachweisen. Teilaufgabe 2b: Bedingte Wahrscheinlichkeit P(Werk A | fehlerhaft) berechnen. - Aufgabe 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgabe 2c: Wahrscheinlichste Anzahl fehlerhafter Geräte bei n = 250 und p = 0,05 bestimmen. Teilaufgabe 2d: Exponenten s = 199 identifizieren und Term als P(X <= 1) bei n = 200 im Werk D deuten.… - Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte W… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgaben 1b, 1d und 1e: Wahrscheinlichkeit bei vorgegebener Teilmenge berechnen (3 rote Pkw sind Dieselfahrzeuge), beschriftetes Baumdiagramm erstellen und die Gesamtwahrscheinlichkeit für eine… - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben 1a und 1c: Binomialwahrscheinlichkeiten berechnen (P(X=8) und P(X>=5) für n=25, p=0,2) sowie die Mindestanzahl Pkw ermitteln, damit mit mind. 95 % Wahrscheinlichkeit mind. ein… - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 2: Gegeben ist die Standardabweichung 3 einer binomialverteilten Zufallsgröße. a) Bestimmen Sie die Versuchsanzahl n für p = 25 %. b) Begründen Sie, dass n = 9 für keinen Wert von p möglich…
LK · Teil A · Analysis (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 a · Funktionen und ihre Eigenschaften
Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f(x) = 2e^(1/2 x) - 1. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 b · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt S(0|1) begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
An einer Messstation wird die Pollenkonzentration durch n(t) = 3t^2 - 60t + 500 für 0 <= t <= 10 beschrieben. a) Mittlere Änderung während der ersten beiden Stunden bestimmen. b) Zeitpunkt ermitteln,… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Gegeben ist f(x) = -x^3 + 12x mit Hochpunkt H(2|16). a) Zeigen Sie durch Integration, dass die Fläche zwischen Graph, x-Achse und x=2 im Intervall [0;2] den Inhalt 20 besitzt. b) Eine Gerade g geht…
LK · Teil A · Analytische Geometrie (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben sind die Ebene E: x₁ + x₂ + 2x₃ = 4 und die Gerade g. Zeichnen Sie die Schnittgerade von E mit der x₂x₃-Ebene ein und berechnen Sie den Schnittpunkt von E und g. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Das rechtwinklige Dreieck ABC mit A(3|3|3), B(6|7|3), C(2|10|3) liegt in der Ebene z = 3. a) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt 25/2 beträgt. b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts D,… - Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Gegeben ist die Ebene E: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = -18. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks aus den Schnittpunkten mit der x_1- und x_2-Achse sowie dem Ursprung. b) Ermitteln Sie die…
LK · Teil A · Lineare Algebra (2017)
Themen der Prüfung: Lineare Gleichungssysteme · Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Lineare Gleichungssysteme
Untersuchung der Lösungsmengen von zwei linearen Gleichungssystemen: (a) Bestimmen der Lösungsmenge L = {(x_1; x_2; x_3)} eines 3x3-Systems ohne Parameter. (b) Bestimmen des Parameters p für… - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Analyse eines Übergangsprozesses von 50 Ratten zwischen vier Räumen: Aufstellen der Übergangsmatrix anhand eines Übergangsdiagramms und Bestimmung sowie Begründung des passenden zeitlichen…
LK · Teil A · Stochastik (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeiten und Terme bei wiederholtem Drehen eines Glücksrads bestimmen und eine Aussage zur stochastischen Unabhängigkeit beurteilen. - Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Jedes Überraschungsei enthält mit 25 % Wahrscheinlichkeit eine Figur. a) Term für die Wahrscheinlichkeit angeben, dass von 10 Eiern nur die letzten beiden eine Figur enthalten. b) Aus 3 Abbildungen… - Aufgabengruppe 2 - 1 a - Mehrstufige Zufallsexper… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Aus Urne A wird eine Kugel in Urne B gelegt, dann eine aus B in C. Wahrscheinlichkeit berechnen, dass danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel sind. - Aufgabengruppe 2 - 1 b - Zufallsgrößen und Wahrsc… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Bei einem Urnenspiel mit 1 Euro Einsatz wird zufällig eine Urne gewählt und daraus eine Kugel gezogen. Bei einer schwarzen Kugel gibt es eine Auszahlung. Bestimmen Sie den Auszahlungsbetrag für ein…
LK · Teil B · Analysis (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe 1a: Bestimmen Sie den Wert von a, für den der Punkt (1 | 1/2) auf dem Graphen G_a der Funktionenschar f_a(x) = x^2 * e^(-a*x) liegt. - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1b, 1c und 1d: Bestimmen Sie Extrempunkte von f_a(x), weisen Sie die Ortskurve y = x^2/e^2 nach und bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks ABC unter dem Graphen G_0,2. - Aufgabe 1 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe 1e: Berechnen Sie den Flächeninhalt A(p) = \int_0^p f_{0,2}(x) dx und zeigen Sie, dass dieser für beliebig große p stets kleiner als 250 ist. - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 2a, 2d und 2e: Transformation des Graphen von k beschreiben, Länge des Kajütenbodens bei k(x) = -2,2 berechnen und Abstand des Stauraumbodens (Länge 6 m) unterhalb des Kajütenbodens… - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 2b und 2c: Höhendifferenz zwischen dem tiefsten Punkt des Kiels (x = 10) und dem Endpunkt am Heck (x = 20) berechnen sowie den maximalen Neigungswinkel des Kiels gegen die Horizontale im… - Aufgabe 2 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben 2f, 2g und 2h: Näherungswert für die Länge der Kiellinie über Streckenzüge zwischen B, P, T und E berechnen, Verfahren zur beliebigen Genauigkeit beschreiben, exakte Bogenlänge per… - Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben 1a und 1c: Zuordnung der Graphen aus der Abbildung zum Likörglas (k=2) und Cocktailglas (k=3) sowie rechnerische/argumentative Begründung der Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse für… - Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Teilaufgabe 1b: Bestimmen des Parameters k für das Sektglas anhand der Randmaße (Höhe 12 cm, Randdurchmesser 6 cm). - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben 1d und 1e: Bestimmung von Lage und Art der Extremstellen der Funktionenschar f_k sowie Nachweis der Ortskurve y = 3/4096 * x^6 für alle Hochpunkte mit x > 0. - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Länge der kreisförmigen Zierlinie berechnen, die 2 cm unterhalb des Glasrands des Cocktailglases verläuft. - Aufgabe 2 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Konvexität von f_3 sowie Berechnung von Strohhalm-Abschnitten und Berührpunktkoordinaten über Tangenten. - Aufgabe 3 - Differentialrechnung · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Hoch- und Wendepunkt des Sektglases im Sachkontext deuten und zwei wesentliche Unterschiede zum Cocktailglas beschreiben. - Aufgabe 3 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe 3b: Radius der Flüssigkeitsoberfläche r(h) in Abhängigkeit von der Füllhöhe h herleiten. Teilaufgabe 3c: Graphen der Funktionen p und r in jeweils ein Koordinatensystem zeichnen. - Aufgabe 3 - Integralrechnung · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Ermitteln Sie unter Verwendung von r(h) das Volumen der Flüssigkeit bei einer Füllhöhe von 6 cm. - Aufgabe 4 · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der beiden quadratischen Funktionen p1 und p2 für den Längsschnitt des Likörglases mit Scheitelpunkten im Tiefpunkt bzw. Hochpunkt von f2 und knickfreiem…
LK · Teil B · Analysis (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Funktionen und ihre Eigenschaften · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Graphen von f, f′ und F deuten · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
- Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · Graphen von f, f′ und F deuten
Aufgabe 1: Grafische Untersuchung des Funktionsgraphen von f zur Beschreibung des Wasservolumens in einem Becken für 0 ≤ t ≤ 15: a) Volumen nach 5 Stunden und Zeitraum mit mindestens 350 m³ angeben.… - Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 (a, b) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgaben a und b zu Änderungsraten eines Wasserbeckens: Bestimmung des Zeitpunkts mit maximaler Änderungsrate im Intervall [0; 15] sowie des Zeitraums, in dem das Wasservolumen abnimmt. - Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 2 (c, d) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgaben c und d zu Wasserbeständen: Bestimmung des Anfangsvolumens aus V(3) = 350 m³ und Untersuchung, ob das Wasservolumen zu einem späteren Zeitpunkt wieder den Anfangswert erreicht. - Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 (a, c) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgabe a: Skizzieren der Graphen von h_{1/2} und h_2 in Abbildung 2. Teilaufgabe c: Beschreibung der Bestimmung der Tiefpunkt-Koordinaten von h_c ohne Ableitungsfunktion sowie Angabe der… - Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 (b) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe 3 b: Bestimmung der benachbarten positiven Nullstelle u in Abhängigkeit von c sowie Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen Graph und x-Achse für 0 <= x <= u. - Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 3 (d) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Teilaufgabe d: Bestimmung eines Terms der 103. Ableitung der Schar h_c(x) = c · sin(cx). - Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (a, b, c, g, h) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Untersuchung der Funktionenschar f_k(x) = k²x³ - 6kx² + 9x für k > 0: Grenzverhalten für x -> ±∞, Berechnung der Nullstellen, Begründung der fehlenden Symmetrie, Zuordnung von Graphen mit Bestimmung… - Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (d, e, f) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Untersuchung der Funktionenschar f_k(x) = k²x³ - 6kx² + 9x: Nachweis der ersten Ableitung 3·(kx - 1)·(kx - 3), Bestimmung von k für den Extremstellenabstand 6 sowie Nachweis der Parallelität der… - Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (i, j, k) · Graphen von f, f′ und F deuten
Eigenschaften der Integralfunktionen L(x) = ∫_0^x f_1(t) dt und M(x) = ∫_3^x f_1(t) dt anhand des Graphen von f_1 deuten: Begründung des Tiefpunkts (0|0), zwei Eigenschaften des Graphen von L bei x =… - Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Aufgabe 2 zu Rotationskörpern und Modellierung einer Schale: Interpretation von Termen, Zuordnung des Graphen der Füllhöhe über Zeit, Nachweis der Kreisfläche der Wasseroberfläche A(h)=4πh,… - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (a, b, e) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Untersuchung der Funktionenschar f_k(x) = -x⁴ + 6kx²: Bestimmung der Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k, Nachweis der Achsensymmetrie und Lage bezüglich der x-Achse für k <= 0, sowie… - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (c, d) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Für f_k(x) = -x⁴ + 6kx² mit k > 0: Nachweis, dass genau zwei Hochpunkte existieren, und Bestimmung ihrer Koordinaten in Abhängigkeit von k. Untersuchung der Anzahl der gemeinsamen Punkte von G_k mit… - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (f) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Deuten Sie für k > 0 das Integral von 0 bis √(3k) über (9k² - f_k(x)) dx mithilfe einer geeigneten Skizze geometrisch. - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (a, b, c) · Funktionen und ihre Eigenschaften
Teilaufgaben a, b und c: Bestimmung des Parameters k, Beschreibung der Streckung, Begründung der Lage der Extrempunkte und Berechnung der Gesamthöhe des Trainingsgeräts. - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (d) · Integralrechnung: Flächen und Bestände
Teilaufgabe d: Berechnung des Gesamtvolumens (Unterbau über Integral und Standbrett als Quader) und der Masse des Trainingsgeräts in Kilogramm. - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (e, f, g) · Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
Die Gerade g verläuft durch (1|p(1)) und (3|p(3)). e) Weisen Sie nach, dass g die Tangente an den Graphen von p in (1|p(1)) ist. f) Berechnen Sie die Größe des Steigungswinkels von g. g) Beschreiben… - Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (h, i) · Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben)
Modellierung mit q(x) = a - c*e^(-x^2). h) Graph verläuft durch Ursprung, y-Koordinaten der Randpunkte stimmen mit denen von p überein. Ermitteln Sie a und c. i) Begründen Sie, dass a und c nicht so…
LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Teilaufgaben a, b, c, e, g, h zum Turm-Modell: Tiefe der Pfosten im Untergrund, Koordinaten von H und Quadratnachweis, Symmetriebegründung der Dachpyramide, Neigungswinkel der Dachfläche EFS,… - Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgaben d und f zum Turm-Modell: Aufstellen der Koordinatengleichung der Ebene L durch E, F und S sowie verbale Beschreibung des Vorgehens zur Berechnung der Schattenlänge einer Stange auf der… - Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe 2 (Teilaufgaben a bis e): Ermittlung der Koordinaten von B, D, M und S sowie Zeichnung der Pyramide. Berechnung des Innenwinkels benachbarter Zeltwände, Koordinaten einer Lichtquelle mit 80… - Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe f: Für einen Sonnenlicht-Richtungsvektor (0,5 | -4,2 | a) trifft das Licht durch ein Loch im horizontalen Vordach auf den Mittelpunkt des Zeltbodens M(2,5 | 2,5 | 0). Einen ganzzahligen…
LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · Längen, Winkel und Abstände im Raum
- Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Spielplatz-Turm: Bestimmung der Pfostentiefe im Untergrund, der Koordinaten von H und Nachweis eines Quadrats, Symmetriebegründung der Dachpyramide, Längenverhältnis an Stützbalken sowie möglicher… - Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Spielplatz-Turm: Bestimmung der Ebenengleichung der Dachfläche EFS in Koordinatenform und Beschreibung des Verfahrens zur Berechnung der Schattenlänge einer an der Spitze befestigten Stange. - Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Teilaufgabe a: Begründen, dass die Gerade AB parallel zur x1x2-Ebene verläuft. Teilaufgabe c: Gleichung der Ebene E in Koordinatenform ermitteln. - Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Aufgabe 2 (Analytische Geometrie): Nachweis, dass ABCD ein Rechteck ist und Bestimmung des Mittelpunkts M; Berechnung des Neigungswinkels φ und Prüfung der Bedingung; Begründung der Formel für den… - Aufgabe 3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Längen, Winkel und Abstände im Raum
Berechnung des Steigungswinkels der Flugbahn gegenüber der Horizontalen und Position um 14.10 Uhr; Einzeichnen der Positionen um 14.02 und 14.10 Uhr in eine Skizze; Ermittlung der Fluggeschwindigkeit… - Aufgabe 3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und L… · Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen
Geben Sie eine Gleichung der Strecke an, die die Flugbahn von 14.00 Uhr bis 14.14 Uhr beschreibt.
LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Matrizen und Übergangsprozesse
- Aufgabe 1 · Matrizen und Übergangsprozesse
Populationsdynamik eines Wolfsrudels mit Übergangsmatrizen und Übergangsdiagrammen modellieren. Berechnung von Übergangswahrscheinlichkeiten, Bestandszahlen, Wachstumsfaktoren und Beurteilung des… - Aufgabe 2 · Matrizen und Übergangsprozesse
Untersuchung algebraischer Eigenschaften einer 3x3-Matrix N mit Fixvektor u ≠ 0: Bestimmung des Wertes a für (N · N⁻¹) · u = a · u und (N + N⁻¹) · u = a · u, sowie rechnerischer Nachweis von u₂ = u₃…
LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
- Aufgabe 1 (CAS 1) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Haushaltsgrößen (genau 40 Einpersonenhaushalte, mindestens 50 Mehrpersonenhaushalte), Deutung eines Terms der Gegenwahrscheinlichkeit im… - Aufgabe 1 (CAS 1) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
2 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem im Jahr 2013 zufällig ausgewählten Mehrpersonenhaushalt um einen 3-Personen-Haushalt handelte. 3 Berechnen Sie die… - Aufgabe 1 (CAS 1) - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Durchführung eines rechtsseitigen Signifikanztests (n = 500, alpha = 0,05) zur Überprüfung des Anteils der 1-Personen-Haushalte: Formulierung der Nullhypothese zur Vermeidung des Fehlers 1. Art und… - Aufgabe 2 (CAS 2) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgabe 1 (a, b, c): Erstellen eines beschrifteten Baumdiagramms zum diagnostischen Gluten-Schnelltest sowie Berechnung von Pfadwahrscheinlichkeiten P(A), P(B) und der bedingten… - Aufgabe 2 (CAS 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinl… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgabe 2: Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer mehr als 10%-igen Abweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße vom Erwartungswert (n = 20000, p = 0,01). Aufgabe 3c: Bestimmung der geänderten… - Aufgabe 2 (CAS 2) - Beurteilende Statistik · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Aufgabe 3: a) Beschreibung der beiden Fehlentscheidungen (Fehler 1. und 2. Art) bei einer Qualitätskontrolle (Hypothesentest) im Sachzusammenhang. b) Bestimmung des neuen kritischen Werts k für den…
LK · Teil B · Stochastik (WTR) (2017)
Themen der Prüfung: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
- Aufgabe 1 - Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte W… · Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten
Teilaufgaben a, b und e zu Samenkörnern für Salatgurken: Baumdiagramm darstellen, bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|K) berechnen und finanziellen Kostenvergleich fruchttragender Pflanzen beurteilen. - Aufgabe 1 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilu… · Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Teilaufgaben c und d: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die binomialverteilten Ereignisse E (genau 140 keimen von 200 der Stufe B) und F (mehr als 130 und weniger als 150 keimen von 200 der… - Aufgabe 1 - Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle · Beurteilende Statistik: Tests und Intervalle
Teilaufgabe f: Einseitiger Hypothesentest mit Signifikanzniveau 5 % für n = 100 und p <= 0,7. Bestimmung der Entscheidungsregel. Teilaufgabe g: Untersuchung der Verträglichkeit von p = 0,6 mit k = 27…
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Übe ein Thema mit gemischten Aufgaben aus den Prüfungen und dem IQB-Pool aller Jahre.
- Längen, Winkel und Abstände im Raum · 272 Aufgaben · 45 % Wahrscheinlichkeit
- Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · 462 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Integralrechnung: Flächen und Bestände · 419 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · 306 Aufgaben · 35 % Wahrscheinlichkeit
- Funktionen und ihre Eigenschaften · 329 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
- Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebeziehungen · 217 Aufgaben · 30 % Wahrscheinlichkeit
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