Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Thema: Graphen von f, f′ und F deuten · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2017)

Aufgabenstellung

2 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ vierten Grades.

Begründen Sie, dass der Graph von $g$ außerhalb des abgebildeten Bereichs keine Extrempunkte besitzt.

Betrachtet wird die Gleichung $g(x) = a$ mit $a \in \mathbb{R}$ . Geben Sie alle Werte von $a$ an, für die die Gleichung genau drei Lösungen hat.

Untersuchen Sie, ob der Wert des Terms $g'(3) \cdot g''(3)$ positiv ist.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Begründen Sie, dass der Graph von g außerhalb des abgebildeten Bereichs keine Extrempunkte besitzt.

Lösung: Als Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades hat der Graph von $g$ höchstens drei Extrempunkte. Diese liegen im dargestellten Bereich.

b Betrachtet wird die Gleichung g(x) = a mit a ∈ IR. Geben Sie alle Werte von a an, für die die Gleichung genau drei Lösungen hat.

Lösung: $a = 4$ und $a = 5$

c Untersuchen Sie, ob der Wert des Terms g'(3) · g''(3) positiv ist.

Lösung: Der Graph von $g$ ist im Punkt $(3 \mid g(3))$ streng monoton fallend und rechtsgekrümmt. Damit ist $g'(3) < 0$ und $g''(3) < 0$ , der Wert des Terms also positiv.

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