Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2017

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

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An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt durch $T(0|0|5{,}5)$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ beschreiben. Der untere Endpunkt des Schattens liegt auf der durch die Strecke $EF$ dargestellten Dachkante. Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, der den unteren Endpunkt des Schattens darstellt.

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