Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (i, j, k) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Thema: Graphen von f, f′ und F deuten · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2017)

Aufgabenstellung

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_1$ von $f_1$ . Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $L$ und $M$ mit

$L(x) = \int_0^x f_1(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{und} \quad M(x) = \int_3^x f_1(t)\,\mathrm{d}t.$

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Punkt $(0|0)$ Tiefpunkt des Graphen der Funktion $L$ ist.

[3 BE]

Geben Sie zwei besondere Eigenschaften des Graphen von $L$ bei $x = 3$ an. Begründen Sie jeweils Ihre Angabe.

[3 BE]

Begründen Sie, dass der Graph der Funktion $M$ aus dem Graphen der Funktion $L$ durch eine Verschiebung in negative y-Richtung hervorgeht.

[2 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (i, j, k) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

i) Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Punkt (0|0) Tiefpunkt des Graphen der Funktion L ist.

Lösung: $L(0) = 0$ , $L'(x) = f_1(x)$ , $f_1(0) = 0$ , $f_1(x) < 0$ für $x < 0$ , $f_1(x) > 0$ für $x > 0$

j) Geben Sie zwei besondere Eigenschaften des Graphen von L bei x = 3 an. Begründen Sie jeweils Ihre Angabe.

Lösung: 1. Die Tangente an den Graphen von $L$ im Punkt $(3|L(3))$ verläuft parallel zur x-Achse. Begründung: $f_1(3) = 0$ . 2. Der Graph von $L$ besitzt im Punkt $(3|L(3))$ einen Wendepunkt. Begründung: Der Graph von $f_1$ hat im Punkt $(3|f_1(3))$ einen Tiefpunkt (bzw. Extrempunkt).

k) Begründen Sie, dass der Graph der Funktion M aus dem Graphen der Funktion L durch eine Verschiebung in negative y-Richtung hervorgeht.

Lösung: $M(x) = L(x) - \int_0^3 f_1(t)\,\mathrm{d}t$ . Der Abbildung ist zu entnehmen, dass $\int_0^3 f_1(t)\,\mathrm{d}t > 0$ gilt.

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