Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

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erhöht · B · Analysis · CAS

Die Abbildung zeigt schematisch Längsschnitte von fünf Gläsern einer Glas-Serie; Füße und Stiele der Gläser sind nicht abgebildet. Die Gläser sind rotationssymmetrisch, d. h. jeder zur Rotationsachse senkrechte Querschnitt durch ein Glas ist kreisförmig. Im eingezeichneten Koordinatensystem werden die Rotationsachsen der Gläser durch die y-Achse dargestellt; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Die Formen der Gläser sind so gewählt, dass jeder der fünf Längsschnitte modellhaft mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = -\frac{3}{512}k \cdot x^4 + \frac{3}{32}k^2 \cdot x^2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschrieben werden kann. Dabei gehört die Funktion $f_2$ zum Likörglas der Serie, die Funktion $f_3$ zum Cocktailglas. Das Sektglas hat eine Höhe von $12\text{ cm}$, sein Rand einen Durchmesser von $6\text{ cm}$. Die Materialstärke der Gläser soll vernachlässigt werden.

d)

Bestimmen Sie Lage und Art der Extremstellen von $f_k$.

(zur Kontrolle: Eine Extremstelle ist $x = 2\sqrt{2k}$.)

e)

Weisen Sie für die Schar der Graphen von $f_k$ nach, dass alle Extrempunkte mit positiver x-Koordinate auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y = \frac{3}{4096} x^6$ liegen.