Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x^2 \cdot \mathrm{e}^{-a \cdot x}$ mit $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

b)

Bestimmen Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$. Begründen Sie, dass der Hochpunkt für jeden Wert von $a$ im ersten Quadranten liegt, und beschreiben Sie, wie sich seine Lage mit dem Wert von $a$ ändert.

(zur Kontrolle: Extremstellen von $f_a$: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{2}{a}$)

c)

Zeigen Sie, dass die Extrempunkte von $G_a$ für alle Werte von $a$ auf dem Graphen einer Funktion mit der Gleichung $y = \frac{x^2}{\mathrm{e}^2}$ liegen.

d)

Für jeden Wert von $b$ mit $b \in \mathbb{R}^+$ sind die Punkte $A(0|0)$ und $B(b|0)$ sowie der Punkt $C$ gegeben, der die $x$-Koordinate $b$ hat und auf dem Graphen $G_{0{,}2}$ liegt. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $b$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ maximal ist, und geben Sie den zugehörigen Flächeninhalt an.