Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2017

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die seitlichen Kanten der Zeltwände werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $3{,}90\text{ m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5{,}00\text{ m}$.

Das Zelt kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ modellhaft dargestellt werden. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $B$ auf dem positiven Teil der $x$-Achse und $D$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse. Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $(5 \mid 5 \mid 0)$, der Mittelpunkt der Grundfläche wird mit $M$ bezeichnet. Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $E: -39y + 25z = 0$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA (A1) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

a

Geben Sie die Koordinaten der Punkte $B$, $D$, $M$ und $S$ an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem gemäß Abbildung 1 ein.

b

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie dessen Größe.

°

c

Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von $80\text{ cm}$ hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle im Modell darstellt.

d

Der Ortsvektor eines Punkts $P$ lässt sich in der Form $\vec{OP} = r \cdot \vec{OC} + s \cdot \vec{OS}$ mit $r, s \in [0;1]$ und $r + s = 1$ darstellen. Weisen Sie nach, dass $P$ auf der Strecke $\overline{CS}$ liegt.

e

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

Weisen Sie nach, dass die Länge des Vordachs etwa $2{,}14\text{ m}$ beträgt.

Alle Punkte derjenigen Kante des Vordachs, an deren Enden die beiden Stangen befestigt sind, haben im Modell die gleiche y-Koordinate. Bestimmen Sie diese y-Koordinate.