Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 (h, i) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Ein Trainingsgerät zur Schulung der Koordination besteht aus einem Unterbau und einem Standbrett (vgl. Abbildung 2). Das zwei Zentimeter dicke Standbrett schließt seitlich ohne Überstand mit dem Unterbau ab.

Das Trainingsgerät hat auf seiner gesamten Länge den gleichen Querschnitt. In diesem Querschnitt wird die untere Profillinie des Unterbaus betrachtet.

Bei horizontal ausgerichtetem Standbrett soll die Profillinie durch eine Funktion modellhaft beschrieben werden. Das Modell geht von einem horizontalen Untergrund aus, der im Querschnitt durch die x-Achse des Koordinatensystems dargestellt wird; eine Längeneinheit im Koordinatensystem soll einem Dezimeter in der Realität entsprechen.

Zunächst wird die Profillinie für $-3 \le x \le 3$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{1}{48} \cdot (x^4 - 18x^2)$ beschrieben. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $p$.

Zur Beschreibung der Profillinie des Unterbaus soll nun eine Funktion $q$ mit $$q(x) = a - c \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\quad a, c \in \mathbb{R}^+\text{ und } x \in [-3; 3]$$ verwendet werden.

h

Der Graph von $q$ soll durch den Koordinatenursprung verlaufen. Die y-Koordinaten der beiden Randpunkte des Graphen von $q$ sollen mit den y-Koordinaten der Randpunkte des Graphen von $p$ übereinstimmen. Ermitteln Sie die Werte von $a$ und $c$.

i

Begründen Sie, dass die Werte von $a$ und $c$ nicht so gewählt werden können, dass der Graph von $q$ zu seinen Randpunkten hin parallel zur x-Achse ausläuft.