Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2017

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $\text{B}$, $\text{C}$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $\text{H}$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

d)

Die Punkte $E$, $F$ und $S$ liegen in einer Ebene $L$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(\text{zur Kontrolle: } 5x_1 - x_2 + 13x_3 = 65)

f)

An der Spitze des Dachs ist eine gerade Stange befestigt, deren oberer Endpunkt im Modell durch einen Punkt $T$ dargestellt wird. Auf den Turm treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\vec{v}$ beschreiben. Der Schatten der Stange liegt vollständig auf der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird. Beschreiben Sie, wie man die Länge dieses Schattens berechnen kann, wenn die Koordinaten von $T$ und $\vec{v}$ bekannt sind.