Aufgabe 2 (CAS 2) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

Thema: Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten · Aus der Prüfung LK · Teil B · Stochastik (CAS) (2017)

Aufgabenstellung

In Deutschland liegt bei 1 % der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

1 Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis dennoch positiv ist, 4 %.

Bei einer Person, die aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt.

a

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm.

[3 BE]

b

Ermitteln Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

[3 BE]

AA: „Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“

BB: „Das Testergebnis ist negativ.“

c

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.

[3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 (CAS 2) - Mehrstufige Zufallsexperimente · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

A: „Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“

Lösung: 0,98 %0{,}98\,\% / 0,00980{,}0098

B: „Das Testergebnis ist negativ.“

Lösung: 95,06 %95{,}06\,\% / 0,95060{,}9506

c Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.

Lösung: 19,8 %19{,}8\,\% / 0,1980{,}198

a Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm.

Lösung: Ereignisse: GG: „Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor.“ PP: „Das Testergebnis ist positiv.“ Stufe 1: - P(G)=1 %=0,01P(G) = 1\,\% = 0{,}01 - P(G‾)=99 %=0,99P(\overline{G}) = 99\,\% = 0{,}99 Stufe 2: - Von GG ausgehend: PG(P)=98 %=0,98P_G(P) = 98\,\% = 0{,}98 und PG(P‾)=2 %=0,02P_G(\overline{P}) = 2\,\% = 0{,}02 - Von G‾\overline{G} ausgehend: PG‾(P)=4 %=0,04P_{\overline{G}}(P) = 4\,\% = 0{,}04 und PG‾(P‾)=96 %=0,96P_{\overline{G}}(\overline{P}) = 96\,\% = 0{,}96

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