Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2017

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

b)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $H$ an. Weisen Sie nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

$H($

$|$

$|$

$)$

c)

Begründen Sie, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse ist.

d)

Berechnen Sie den Inhalt der gesamten Dachfläche in Quadratmetern.

f)

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2{,}10\text{ m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3{,}50\text{ m}$ über dem Untergrund an dem Pfosten befestigt, der im Modell durch die Strecke $\overline{AE}$ dargestellt wird, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte.

Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.