Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

a)

Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen den beiden Uferzonen.

b)

Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1, wie breit die Senke einen Meter unterhalb der Wasseroberfläche ist.

c)

Deuten Sie die Gleichung $f(x+3)=f(x)$ im Sachzusammenhang und bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 1 eine Lösung der Gleichung.

Über die Senke soll eine Brücke gebaut werden. Das eine Ende der Brücke soll auf der linken Uferzone aufliegen, das andere Ende auf einem Sockel am rechten Ufer. Die Profillinie der Brücke wird im Modell durch eine Strecke dargestellt, der Auflagepunkt am rechten Ufer durch den Punkt $B(0|1{,}1)$.

f)

Berechnen Sie die Länge der Brücke sowie deren Steigung in Prozent, wenn der linke Auflagepunkt im Modell durch den Punkt $A(-6|f(-6))$ dargestellt würde.

g)

Ermitteln Sie, wie weit das linke Ende der Brücke vom Rand der Senke entfernt läge, wenn die Brücke eine Steigung von $6\,\%$ hätte.