Aufgabe WTR 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \le t \le 15$ durch die Funktion $g$ mit $g(t) = 0{,}4 \cdot (2t^3 - 39t^2 + 180t)$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$. Die Funktion $G$ mit $G(t) = 0{,}2 \cdot (t^4 - 26t^3 + 180t^2)$ ist eine Stammfunktion von $g$.

1 Abbildung 1 zeigt den Graphen einer Funktion $f$, die für $0 \le t \le 15$ das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern.

a

Geben Sie das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens 350 Kubikmeter beträgt. [3 BE]

von:

bis:

b

Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. [4 BE]

c

Die fünfzehn Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann. Geben Sie den Zeitpunkt an. [3 BE]

d

Interpretieren Sie die Gleichung $f(t + 6) = f(t) - 350$ im Sachzusammenhang. Geben Sie eine Lösung der Gleichung an. [4 BE]

e

Begründen Sie, dass die Funktionsgleichung von $f$ weder die Form I noch die Form II hat:

$$\text{I } y = -0{,}3t^4 + at^2 + 100, \quad a \in \mathbb{R}$$

$$\text{II } y = 8{,}5t^3 + 3{,}7t^2 + bt + 100, \quad b \in \mathbb{R}$$ [3 BE]