Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

Ein Turm auf einem Spielplatz besteht aus vier $4{,}50\text{ m}$ langen, vertikal stehenden Pfosten, vier horizontalen Balken und einem Dach in Form einer geraden Pyramide. Die Abbildung zeigt den Turm schematisch. Die Dicke der Bauteile des Turms soll vernachlässigt werden.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Enden der Pfosten für einen Wert von $z$ mit $z \in \mathbb{R}$ modellhaft durch die Punkte $A(2|-3|z)$, $B$, $C$ und $D(-3|-2|z)$ sowie $E(2|-3|4)$, $F(3|2|4)$, $G(-2|3|4)$ und $H$ dargestellt werden, die Spitze des Dachs durch den Punkt $S(0|0|5)$. Dabei beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den Untergrund; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

Geben Sie an, wie tief die Pfosten in den Untergrund hineinreichen.

b)

Geben Sie die Koordinaten des Punkts $H$ an. Weisen Sie nach, dass das Viereck $EFGH$ ein Quadrat ist.

c)

Begründen Sie, dass die Pyramide $EFGHS$ symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse ist.

f)

Zur Stabilisierung des Turms wurden zusätzliche Balken mit einer Länge von $2{,}10\text{ m}$ verwendet. Ein solcher Balken ist mit einem Ende in einer Höhe von $3{,}50\text{ m}$ über dem Untergrund an einem der vertikal stehenden Pfosten befestigt, mit dem anderen Ende an einem der beiden darauf liegenden horizontalen Balken. Der obere Befestigungspunkt teilt den horizontalen Balken in zwei Abschnitte. Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen der beiden Abschnitte.

g)

Es soll eine vertikale Kletterstange aufgestellt werden, deren Fußpunkt im Modell durch einen Punkt $P$ der $x_1x_2$-Ebene beschrieben wird. Die Kletterstange soll von dem Pfosten, der durch $\overline{AE}$ dargestellt wird, doppelt so weit entfernt sein wie von dem Pfosten, der durch $\overline{BF}$ dargestellt wird. Bestimmen Sie für zwei mögliche Positionen der Kletterstange jeweils die Koordinaten von $P$.