Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

In einer Senke verläuft ein Fluss. Abbildung 1 zeigt modellhaft einen Querschnitt der Senke und der beiden horizontalen Uferzonen.

Im Querschnitt kann die Profillinie der Senke modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = -5x^2e^x + 1$ und $x \in [-6; 0]$ beschrieben werden. Die Wasseroberfläche wird im Modell durch einen Abschnitt der $x$-Achse dargestellt, die Uferzonen durch zwei Strecken, die jeweils parallel zur $x$-Achse verlaufen und lückenlos an den Graphen von $f$ anschließen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Zur Funktion $f$ sind Gleichungen der ersten und zweiten Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion gegeben:

$f'(x) = -5x \cdot (2 + x) \cdot e^x$

$f''(x) = -10e^x - 20xe^x - 5x^2e^x$

$F(x) = x - 5 \cdot (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x$

d)

Leiten Sie aus der Funktionsgleichung von $f$ die angegebene Funktionsgleichung von $f'$ her.

e)

Berechnen Sie die Tiefe des Wassers an der tiefsten Stelle der Senke.

h)

Zwischen dem tiefsten Punkt der Senke und ihrem rechten Rand gibt es einen Punkt, in dem die Profillinie ihren größten Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen hat. Berechnen Sie die Größe dieses Neigungswinkels.