Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (d, e, f) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

d)

Weisen Sie nach, dass $f_k'(x) = 3 \cdot (kx - 1) \cdot (kx - 3)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f_k$ ist. [3 BE]

e)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den sich die x-Koordinaten der beiden Extrempunkte von $G_k$ um 6 unterscheiden. [4 BE]

f)

Für jeden Wert von $k$ wird die Tangente an $G_k$ im Wendepunkt $\left(\frac{2}{k} \,\middle|\, \frac{2}{k}\right)$ betrachtet. Zeigen Sie, dass die Tangenten für unterschiedliche Werte von $k$ parallel zueinander sind. [3 BE]