Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2017

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · CAS

Aufgabe

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die seitlichen Kanten der Zeltwände werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist $3{,}90\text{ m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5{,}00\text{ m}$.

Das Zelt kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch eine Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S$ modellhaft dargestellt werden. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $B$ auf dem positiven Teil der $x$-Achse und $D$ auf dem positiven Teil der $y$-Achse. Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $(5 \mid 5 \mid 0)$, der Mittelpunkt der Grundfläche wird mit $M$ bezeichnet. Das Dreieck $ABS$ liegt in der Ebene $E: -39y + 25z = 0$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Betrachtet wird die Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird. Ein Teil dieser Zeltwand kann mithilfe zweier weiterer Stangen zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende Öffnung in der Zeltwand kann im Modell durch ein Rechteck dargestellt werden. Eine Seite dieses Rechtecks liegt so auf der Strecke $\overline{CD}$, dass der eine Endpunkt dieser Seite von $C$ ebenso weit entfernt ist wie der andere Endpunkt von $D$.

1 verwendete Abkürzungen: AG/LA (A1) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A1), AG/LA (A2) – Analytische Geometrie/Lineare Algebra (Alternative A2)

f

Auf das Zelt treffendes Sonnenlicht lässt sich im Modell zu einem bestimmten Zeitpunkt durch parallele Geraden mit einem Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ -4{,}2 \\ a \end{pmatrix}$ beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt trifft Sonnenlicht durch ein kleines Loch im horizontalen Vordach genau auf den Mittelpunkt des Zeltbodens.

Für $a$ kommen verschiedene ganzzahlige Werte infrage. Ermitteln Sie einen dieser Werte und geben Sie die Koordinaten des zugehörigen Punkts an, der im Modell eine mögliche Position des Lochs im Vordach darstellt.

$($

$\mid$

$\mid$

$)$