Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 1 (a, b, c, g, h) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

a)

Geben Sie das Verhalten von $f_k$ für $x \to -\infty$ und $x \to +\infty$ an.

[2 BE]

b)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f_k$.

[4 BE]

c)

Begründen Sie, dass $G_k$ weder bezüglich des Koordinatenursprungs noch bezüglich der y-Achse symmetrisch ist.

[2 BE]

g)

Abbildung 1 zeigt für einen bestimmten Wert von $k$ den Graphen von $f_k$ sowie den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = f_k(x) + d$ mit $d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Ordnen Sie die beiden Funktionen jeweils einem der beiden Graphen I und II zu. Begründen Sie Ihre Zuordnung und bestimmen Sie die Werte von $k$ und $d$.

[4 BE]

Graph I gehört zu:

$h$

$f_k$

Graph II gehört zu:

$f_k$

$h$

h)

Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $f_2(x) = \frac{1}{2} \cdot f_1(2x)$. Beschreiben Sie, wie der Graph von $f_2$ aus dem Graphen von $f_1$ hervorgeht.

[2 BE]