Aufgabe 1 (Pagode) - Längen, Winkel und Abstände… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

a Zeichnen Sie in das abgebildete Koordinatensystem für die untere Dachetage die fehlenden Eckpunkte sowie die Strecken ein, die die Kanten der Dachflächen darstellen.

Lösung: Einzuzeichnen sind die Punkte $A_2(2|-2|8{,}1)$, $B_2(2|2|8{,}1)$, $C_2(-2|2|8{,}1)$ und $D_2(-2|-2|8{,}1)$ sowie die Kanten, die die vier Trapeze der unteren Dachetage bilden.

b Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck A1B1B2A2 ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Begründen Sie, dass es sich nicht um ein Parallelogramm handelt.

Lösung: $\vec{A_1B_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{A_2B_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}$ sind kollinear (denn $\vec{A_1B_1} = \frac{11}{4} \vec{A_2B_2}$). Zudem gilt: $|\vec{A_1A_2}| = \left|\begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 3{,}5 \\ 2{,}1 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-3{,}5)^2 + 3{,}5^2 + 2{,}1^2} = \sqrt{28{,}91} \approx 5{,}38$ $|\vec{B_1B_2}| = \left|\begin{pmatrix} -3{,}5 \\ -3{,}5 \\ 2{,}1 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{(-3{,}5)^2 + (-3{,}5)^2 + 2{,}1^2} = \sqrt{28{,}91} \approx 5{,}38$ Also $|\vec{A_1A_2}| = |\vec{B_1B_2}|$. Da $|\vec{A_1B_1}| = 11 \neq 4 = |\vec{A_2B_2}|$, ist $A_1B_1B_2A_2$ kein Parallelogramm.

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M1 der Seite A1B1 an: x-Koordinate

Lösung: 5{,}5

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M1 der Seite A1B1 an: y-Koordinate

Lösung: 0

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M1 der Seite A1B1 an: z-Koordinate

Lösung: 6

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M2 der Seite A2B2 an: x-Koordinate

Lösung: 2

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M2 der Seite A2B2 an: y-Koordinate

Lösung: 0

c Geben Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M2 der Seite A2B2 an: z-Koordinate

Lösung: 8{,}1

c Berechnen Sie den gesamten Inhalt der Dachflächen der unteren Etage in Quadratmetern.

Lösung: 122{,}4 m² / 122 m²

e Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels dieser Dachfläche gegenüber der Horizontalen.

Lösung: 31°