Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

a)

Geben Sie an, welche Temperaturen die Funktion $f$ für den Beginn des Vorgangs und für den Zeitpunkt zwei Minuten nach diesem Beginn liefert. Bestimmen Sie jeweils die prozentuale Abweichung von den angegebenen Messwerten.

c)

Skizzieren Sie den Graphen von $f$ für $0 \leq t \leq 80$ in einem Koordinatensystem. Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen für große Werte von $t$ und deuten Sie diesen Verlauf im Sachzusammenhang.

d)

Der Zeitabschnitt, in dem die Flüssigkeit konstant bei $77\,^\circ\mathrm{C}$ gehalten wird, entspricht im Modell dem Intervall, in dem die Funktion $f$ mindestens diese Temperatur liefert. Bestimmen Sie den Zeitabschnitt und stellen Sie den zugehörigen Temperaturverlauf im Koordinatensystem aus Teilaufgabe c dar.