Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

b)

Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ genau einen Extrempunkt hat, und vergleichen Sie die zu diesem Punkt gehörende Temperatur mit den angegebenen Messwerten.

f)

Ermitteln Sie für die Phase des Abkühlens denjenigen Zeitpunkt, für den die Werte der Funktion $f$ und der Funktion $h$ mit $b = 197{,}4$ und $c = -0{,}065$ am stärksten voneinander abweichen. Geben Sie die zugehörige Abweichung an.