Abitur NRW Mathematik 2017 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene $E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 4$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

a

Zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittgerade von E mit der $x_2x_3$-Ebene ein.

b

Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von E und g.

$S($

$|$

$|$

$)$

Gegeben sind die Ebene $E: x_1 + x_2 + 2x_3 = 4$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

Das Dreieck $ABC$ mit den Punkten $A(3|3|3)$, $B(6|7|3)$ und $C(2|10|3)$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig und liegt in der Ebene mit der Gleichung $z = 3$.

a

Weisen Sie nach, dass das Dreieck $ABC$ den Flächeninhalt $\frac{25}{2}$ besitzt.

b

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts $D$ so, dass das Volumen der Pyramide $ABCD$ gleich $25$ ist.

$D($

$|$

$|$

$)$

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1 + x_2 - 2x_3 = -18$.

a)

Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$-Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. [2 BE]

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punkts der Ebene $E$ ist. [3 BE]

$x_1$:

$x_2$:

$x_3$: