Aufgabe 3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

Eine Radarstation überwacht die Bewegung eines Flugzeugs. Die Bewegung kann modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden, dessen $x_1x_2$-Ebene die Horizontale beschreibt; eine Längeneinheit entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Standort der Radarstation wird durch den Punkt $R(18|0|-1)$ beschrieben.

Zu Beginn der Beobachtung um 14.00 Uhr wird die Position des Flugzeugs durch den Punkt $A(0|0|0)$ beschrieben. Anschließend bewegt es sich im Modell entlang einer Geraden durch den Punkt $B(8|4|1)$, der die Position um 14.02 Uhr darstellt. Ab 14.14 Uhr fliegt das Flugzeug in gleicher Himmelsrichtung horizontal weiter; im Modell bleibt es dabei in der Ebene, die die Punkte $A$ und $B$ enthält und zur $x_1x_2$-Ebene senkrecht steht. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass das Flugzeug von 14.00 Uhr bis 14.14 Uhr mit konstanter Geschwindigkeit fliegt.

a)

Berechnen Sie für die Zeit bis 14.14 Uhr die Größe des Steigungswinkels der Flugbahn gegenüber der Horizontalen. Geben Sie die Koordinaten des Punkts an, der die Position des Flugzeugs um 14.10 Uhr darstellt.

°

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b)

Die Abbildung zeigt schematisch die Flugbahn des Flugzeugs sowie die Horizontale. Zeichnen Sie die Positionen des Flugzeugs zu den Zeitpunkten 14.02 Uhr und 14.10 Uhr ein.

c)

Ermitteln Sie für die Zeit bis 14.14 Uhr die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Kilometer pro Stunde.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen 14.00 Uhr und 14.14 Uhr ist die Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation am geringsten. Die bis dahin seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit soll in Minuten bestimmt werden. Dafür werden zwei verschiedene Lösungsansätze I und II betrachtet:

I

$$d(s) = \left| \begin{pmatrix} 18 - 8s \\ -4s \\ -1 - s \end{pmatrix} \right| = \sqrt{81s^2 - 286s + 325}$$

$$d'(s) = 0$$

II

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 18 - 8s \\ -4s \\ -1 - s \end{pmatrix} = 0$$

e)

Erläutern Sie jeden der beiden Lösungsansätze.

f)

Setzen Sie einen der beiden Ansätze bis zur Lösung fort und bestimmen Sie die geringste Entfernung des Flugzeugs von der Radarstation.

g)

Ist das Flugzeug mehr als 70 km von der Radarstation entfernt, so kann es von dieser nicht mehr erfasst werden. Die Position, an der das Flugzeug nach 14.14 Uhr den Erfassungsbereich der Radarstation verlässt, wird im Modell durch einen Punkt dargestellt. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Punkts.

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