Aufgabe 1 (Solarmodule) - Längen, Winkel und Abst… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|1)$, $B(2|6|1)$ und $C(-4|8|5)$ gegeben.

Modellierung einer Solaranlage

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt, der Befestigungspunkt des Metallrohrs am Trägergestell durch den Punkt $M$ (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund, auf dem das Metallrohr steht; eine Längeneinheit entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

b)

Weisen Sie nach, dass der Punkt $M(-2|4|3)$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AC}$ ist;

das Dreieck $ABC$ bei $B$ einen rechten Winkel hat.

[4 BE]

c)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts D, für den das Viereck ABCD ein Rechteck ist. [1 BE]

| |

e)

Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte die Größe des Neigungswinkels der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen $30^\circ$ und $36^\circ$ liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist. [3 BE]

°

Ist die Bedingung erfüllt?

Ja

Nein

g)

Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründen Sie die folgende Aussage unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze:

Der Flächeninhalt des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt, ist größer als der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD.

[4 BE]