Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

Thema: Längen, Winkel und Abstände im Raum · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR) (2017)

Aufgabenstellung

In einem kartesischen Koordinatensystem ist das Viereck ABCDABCD mit A(0∣0∣1)A(0|0|1), B(2∣6∣1)B(2|6|1), C(−4∣8∣5)C(-4|8|5) und D(−6∣2∣5)D(-6|2|5) gegeben. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks wird mit MM bezeichnet.

Solarmodule werden auf einem Trägergestell montiert, das an einem vertikal stehenden Metallrohr befestigt ist. Die gesamte Fläche der Solarmodule wird zu einem bestimmten Zeitpunkt modellhaft durch das Rechteck ABCDABCD dargestellt. Das Metallrohr lässt sich im Modell durch eine Strecke beschreiben, der Befestigungspunkt am Trägergestell durch den Punkt MM (vgl. Abbildung). Im Koordinatensystem beschreibt die x1x2x_1x_2-Ebene die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 0,8 m0{,}8\text{ m} in der Wirklichkeit.

b)

Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCDABCD ein Rechteck ist. Geben Sie die Koordinaten von MM an.

d)

Im Sinne eines möglichst großen Energieertrags sollte die Größe des Neigungswinkels φ\varphi der Modulfläche gegenüber der Horizontalen zwischen 30∘30^\circ und 36∘36^\circ liegen. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

°

Ja

Nein

e)

Zum betrachteten Zeitpunkt fällt das Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, senkrecht auf die Fläche der Solarmodule. Diese Fläche erzeugt auf dem horizontalen Untergrund einen rechteckigen Schatten. Begründen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms ∣AB⃗∣⋅∣AD⃗∣cos⁡φ⋅(0,8 m)2|\vec{AB}| \cdot \frac{|\vec{AD}|}{\cos\varphi} \cdot (0{,}8\,\mathrm{m})^2 berechnet werden kann.

f)

Um die Solarmodule während eines Tages ständig möglichst gut nach der Sonneneinstrahlung ausrichten zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Trägergestell um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Neigung des Trägergestells bleibt dabei unverändert.

Betrachtet wird der untere linke Eckpunkt der Modulfläche, der im Modell durch den Punkt AA dargestellt wird. Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt bei der Drehung des Metallrohrs bewegt.

g)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass der in Teilaufgabe f ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt der Modulfläche gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b) Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.

Lösung: AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC} und AB⃗∘AD⃗=0\vec{AB} \circ \vec{AD} = 0

b) Geben Sie die Koordinaten von M an.

Lösung: M(−2∣4∣3)M(-2|4|3)

d) Prüfen Sie, ob die Bedingung für den Neigungswinkel φ erfüllt ist.

Lösung: φ≈32,3∘\varphi \approx 32{,}3^\circ

d) Ist die Bedingung erfüllt?

Lösung: Ja

e) Begründen Sie unter Verwendung einer geeignet beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms berechnet werden kann.

Lösung: Da die Gerade ABAB parallel zur x1x2x_1x_2-Ebene verläuft, ist ∣AB⃗∣|\vec{AB}| die Breite des Rechtecks, das den Schatten im Modell darstellt. Da cos⁡φ=∣AD⃗∣∣FG‾∣\cos\varphi = \frac{|\vec{AD}|}{|\overline{FG}|} gilt, ist ∣AD⃗∣cos⁡φ\frac{|\vec{AD}|}{\cos\varphi} die Länge dieses Rechtecks. Durch den Faktor (0,8 m)2(0{,}8\,\mathrm{m})^2 wird der Maßstab berücksichtigt.

f) Berechnen Sie den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt bei der Drehung des Metallrohrs bewegt.

Lösung: 25⋅0,8 m≈3,6 m2\sqrt{5} \cdot 0{,}8\,\mathrm{m} \approx 3{,}6\,\mathrm{m}

g) Begründen Sie ohne zu rechnen, dass der in Teilaufgabe f ermittelte Radius entsprechend auch für den unteren rechten Eckpunkt der Modulfläche gilt.

Lösung: AA und BB haben vom Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks ABCDABCD den gleichen Abstand. Die Strecke ABAB verläuft parallel zur x1x2x_1x_2-Ebene, die Strecke, die das Metallrohr darstellt, senkrecht dazu. Damit haben AA und BB von der Strecke, die das Metallrohr darstellt, den gleichen Abstand.

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