Aufgabe 1 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

In einem Produktionsprozess werden Flüssigkeiten erhitzt, eine Zeit lang bei konstanter Temperatur gehalten und anschließend wieder abgekühlt.

1 Betrachtet wird zunächst ein Vorgang, bei dem der Temperaturverlauf durchgehend gesteuert wird. In der Tabelle sind Ergebnisse einer Temperaturmessung angegeben.

Zeit in Minuten · 0 · 2 · 4 · 10 · 15 · 20 · 40 · 60 · 80

Temperatur in °C · 23,0 · 54,0 · 76,9 · 76,8 · 77,3 · 76,8 · 37,9 · 26,0 · 23,2

Der Temperaturverlauf kann während des Erhitzens und während des Abkühlens mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = 23 + 20 \cdot t \cdot e^{-\frac{1}{10}t}$ modellhaft beschrieben werden. Dabei ist $t$ die seit Beginn des Vorgangs vergangene Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur in °C.

Betrachtet wird nun ein Vorgang, bei dem die Steuerung des Temperaturverlaufs zwanzig Minuten nach Beginn des Vorgangs abgeschaltet wird. Das anschließende Abkühlen der Flüssigkeit lässt sich für $t \geq 20$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(t) = 23 + b \cdot e^{c \cdot t}$ und $b, c \in \mathbb{R}$ beschreiben.

e)

Zu Beginn des Abkühlens soll die Temperatur $77\,^\circ\mathrm{C}$ und die momentane Änderungsrate der Temperatur $-3{,}5\,^\circ\mathrm{C}$ pro Minute betragen. Bestimmen Sie die passenden Werte von $b$ und $c$.