Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2017

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) (2017)

Aufgabenstellung

Betrachtet werden 3×33\times 3-Matrizen NN sowie Vektoren u⃗=(u1u2u3)\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} mit u⃗≠(000)\vec{u} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, für die N⋅u⃗=u⃗N \cdot \vec{u} = \vec{u} gilt.

a)

Die Matrix N−1N^{-1} ist die inverse Matrix zu einer der Matrizen NN. Prüfen Sie für jede der beiden folgenden Gleichungen, ob es einen Wert von a∈Ra \in \mathbb{R} gibt, für den die Gleichung erfüllt ist:

Wert von aa:

Wert von aa:

b)

Zeigen Sie für N=(0040,250000,40,6)N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}, dass u2=u3u_2 = u_3 gilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Wert von a für (N⋅N−1)⋅u⃗=a⋅u⃗(N \cdot N^{-1}) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u}

Lösung: 1

a) Wert von a für (N+N−1)⋅u⃗=a⋅u⃗(N + N^{-1}) \cdot \vec{u} = a \cdot \vec{u}

Lösung: 2

b) Zeigen Sie für N=(0040,250000,40,6)N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}, dass u2=u3u_2 = u_3 gilt.

Lösung: 0,4u2+0,6u3=u3⇔0,4u2=0,4u3⇔u2=u30{,}4u_2 + 0{,}6u_3 = u_3 \Leftrightarrow 0{,}4u_2 = 0{,}4u_3 \Leftrightarrow u_2 = u_3

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