Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2017

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) (2017)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Matrix N=(0040,250000,40,6)N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} sowie Vektoren u⃗=(u1u2u3)\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}.

a)

Zeigen Sie, dass es keinen Vektor u⃗≠(000)\vec{u} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} gibt, für den N⋅u⃗=(000)N \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} gilt.

b)

Für einen Vektor u⃗\vec{u} gilt ∣u⃗∣2=1800|\vec{u}|^2 = 1800. Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung N⋅u⃗=u⃗N \cdot \vec{u} = \vec{u}.

u⃗1\vec{u}_1: (( | | )T)^T

u⃗2\vec{u}_2: (( | | )T)^T

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2017

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Zeigen Sie, dass es keinen Vektor u⃗≠(000)\vec{u} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} gibt, für den N⋅u⃗=(000)N \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} gilt.

Lösung: N⋅u⃗=0⃗⇔u⃗=0⃗N \cdot \vec{u} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}

b) Erste Komponente u1u_1 des ersten Lösungsvektors

Lösung: 40 / -40

b) Zweite Komponente u2u_2 des ersten Lösungsvektors

Lösung: 10 / -10

b) Dritte Komponente u3u_3 des ersten Lösungsvektors

Lösung: 10 / -10

b) Erste Komponente u1u_1 des zweiten Lösungsvektors

Lösung: -40 / 40

b) Zweite Komponente u2u_2 des zweiten Lösungsvektors

Lösung: -10 / 10

b) Dritte Komponente u3u_3 des zweiten Lösungsvektors

Lösung: -10 / 10

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