Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 1 (c, d) · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

c) Weisen Sie nach, dass $G_k$ für $k > 0$ genau zwei Hochpunkte besitzt.

Lösung: $f_k'(x) = -4x^3 + 12kx = 0 \iff -4x(x^2 - 3k) = 0$. Für $k > 0$ ergeben sich die Nullstellen der Ableitung: $$x_1 = 0,\quad x_2 = -\sqrt{3k},\quad x_3 = \sqrt{3k}$$ Zweite Ableitung: $f_k''(x) = -12x^2 + 12k$. Eingesetzt: $$f_k''(0) = 12k > 0 \implies \text{Tiefpunkt bei } x = 0$$ $$f_k''(\pm\sqrt{3k}) = -12(3k) + 12k = -24k < 0 \implies \text{Hochpunkte bei } x = \pm\sqrt{3k}$$ Damit besitzt $G_k$ für $k > 0$ genau zwei Hochpunkte.

c) x-Koordinate des linken Hochpunkts

Lösung: $-\sqrt{3k}$

c) y-Koordinate des linken Hochpunkts

Lösung: $9k^2$

c) x-Koordinate des rechten Hochpunkts

Lösung: $\sqrt{3k}$

c) y-Koordinate des rechten Hochpunkts

Lösung: $9k^2$