Problema 2 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Setembre Serie 3 2022

a) Determineu el domini de la funció.

Solución: $\mathbb{R} \setminus \{-2, 1\} = (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)$

a) Determineu les possibles asímptotes verticals de la funció.

Solución: $x = -2$ i $x = 1$

a) Determineu les possibles asímptotes horitzontals i obliqües.

Solución: $y = 0$ (no té asímptotes obliqües)

a) Determineu els extrems relatius de la funció.

Solución: Màxim relatiu a $x = -\frac{1}{2}$

a) Determineu els intervals de creixement i decreixement de la funció.

Solución: Creixent a $(-\infty, -2) \cup \left(-2, -\frac{1}{2}\right)$ i decreixent a $\left(-\frac{1}{2}, 1\right) \cup (1, +\infty)$

b) Calculeu l'equació general de la recta tangent a la funció $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 4$.

Solución: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$ / $x + 4y - 6 = 0$

b) Representeu en un mateix gràfic la funció $f(x)$ i la recta tangent.

Solución: Gràfic de la funció $f(x) = \dfrac{9}{x^2+x-2}$ amb les asímptotes $x=-2$, $x=1$, $y=0$, el màxim relatiu a $\left(-\frac{1}{2}, -4\right)$ i la recta tangent $y = -\frac{1}{4}x + \frac{3}{2}$ en el punt $\left(4, \frac{1}{2}\right)$.