Problema 1 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2024

a) Derivada f'(x) de la funció:

Solución: $f'(x) = 2\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

a) Abscissa de l'extrem relatiu:

Solución: $x = e$

a) Interval de creixement:

Solución: $(0, e)$

a) Interval de decreixement:

Solución: $(e, +\infty)$

b) Equació de l'asímptota vertical:

Solución: $x = 0$ / $0$

b) Equació de l'asímptota horitzontal:

Solución: $y = 0$ / $0$

b) Feu un esbós de la seva gràfica.

Solución: Esbós de la corba de $f(x)$ que presenta asímptota vertical $x=0$, creixement des de $-\infty$ fins al màxim relatiu a $(e, 2/e)$, decreixent posteriorment cap a l'asímptota horitzontal $y=0$ quan $x\to +\infty$, tallant l'eix $X$ en $(1,0)$.

c) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de y = f(x) en el punt d'abscissa x = 1.

Solución: $y = 2x - 2$