Ejercicio 1 - Estudi i representació gràfica · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 5 2024

Sense calcular els punts crítics, justifiqueu que $f(x)$ és decreixent a l'interval $(0, 1)$ i creixent a $(1, +\infty)$.

Solución: Calculem la derivada $f'(x) = 10\left(\ln x + \frac{x-1}{x}\right)$. A l'interval $(0, 1)$ tenim $\ln x < 0$ i $\frac{x-1}{x} < 0$, per tant $f'(x) < 0$ i la funció és decreixent. A l'interval $(1, +\infty)$ tenim $\ln x > 0$ i $\frac{x-1}{x} > 0$, per tant $f'(x) > 0$ i la funció és creixent.

Punt on la funció té un extrem relatiu ($x$):

Solución: 1

Quins màxims i mínims té aquesta funció?

Solución: Té un mínim a $x = 1$ (i no té cap màxim)

Calculeu $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)$

Solución: $+\infty$

Calculeu $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$

Solución: $+\infty$

Feu un esbós de la gràfica d'aquesta funció.

Solución: Esbós de la corba amb límit $+\infty$ a la dreta de 0, decreixent fins al mínim a $(1, -2)$, tallant l'eix d'abscisses entre 1,4 i 1,5, i creixent cap a $+\infty$.