Problema 5 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2024

Tema: Funcions II · Del examen Juny Serie 1 (2024)

Enunciado

Volem construir un petit cobert de fusta de 6 m36\ \mathrm{m^3} de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d'una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d'amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de 30 €30\ \text{€} i el sostre costa 50 €50\ \text{€} per metre quadrat. Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de 35 €35\ \text{€}.

a)

Comproveu que el cost de construcció del cobert ve donat per la funció C(x)=300x+150x2+35C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35, on xx és la fondària del cobert en metres.

[1,25 punts]

b)

Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?

[1,25 punts]

Enunciado: Problema 5 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Comproveu que el cost de construcció del cobert ve donat per la funció C(x)=300x+150x2+35C(x) = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35, on xx és la fondària del cobert en metres.

Solución: Com a l'enunciat, denotem per xx la fondària, hh l'alçada i l'amplària 3x3x. El volum és 3x⋅x⋅h=6⇒h=2x23x \cdot x \cdot h = 6 \Rightarrow h = \frac{2}{x^2}. El cost és C(x)=30(3xh+xh+xh)+50(3x2)+35=150xh+150x2+35=150x2x2+150x2+35=300x+150x2+35C(x) = 30(3xh + xh + xh) + 50(3x^2) + 35 = 150xh + 150x^2 + 35 = 150x\frac{2}{x^2} + 150x^2 + 35 = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35.

b) Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?

Solución: Derivant C′(x)=−300x2+300xC'(x) = -\frac{300}{x^2} + 300x. Igualant a zero dóna x3=1⇒x=1x^3 = 1 \Rightarrow x = 1. Com que C′′(1)>0C''(1) > 0, és un mínim. Dimensions: 1 m1\ \mathrm{m} de fondària, 3 m3\ \mathrm{m} d'amplada i 2 m2\ \mathrm{m} d'alçada. Cost: 485 €485\ \text{€}.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 1 · Juny Serie 1 2024 · Ejercicio 1 - Estudi i representació gràfica · Juny Serie 5 2024 ›

Más ejercicios de Funcions II

Exámenes oficiales en PDF y soluciones: examenselectivitat.cat