Problema 4 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Setembre Serie 1 2021

a) En la figura es mostra la gràfica de la funció $f(x)$. Representeu de manera esquemàtica la gràfica de la funció derivada de $f(x)$.

Solución: Gràfica esquemàtica d'una paràbola oberta cap amunt que talla l'eix d'abscisses en els punts $(0, 0)$ i $(1, 0)$, amb un mínim en $x = \frac{1}{2}$.

a) Expliqueu el raonament que heu seguit.

Solución: Als extrems relatius $(x=0$ i $x=1)$ la derivada s'anul·la ($f'(x)=0$). En els intervals de creixement ($x<0$ i $x>1$), $f'(x)>0$. En l'interval de decreixement ($0<x<1$), $f'(x)<0$. El punt d'inflexió en $x \approx 1/2$ correspon a un mínim de $f'(x)$.

b) Calculeu el valor de $a$

Solución: 2

b) Calculeu el valor de $b$

Solución: -3