Problema 6 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 2 2021

a) Estudieu-ne la continuïtat, els extrems relatius i els intervals de creixement i decreixement.

Solución: Continuïtat: $f(x)$ és contínua a tot $\mathbb{R}$. Derivada: $f'(x) = \mathrm{e}^{x-1} - 1$. Punt crític: $x = 1$. Decreixent a $(-\infty, 1)$ i creixent a $(1, +\infty)$. Mínim relatiu (i absolut) en $(1, -1)$.

b) Demostreu que l'equació f(x) = 0 té exactament dues solucions entre x = -1 i x = 3.

Solución: Com que $f$ és contínua a $[-1, 1]$ amb $f(-1) > 0$ i $f(1) < 0$, per Bolzano té una arrel a $(-1, 1)$, que és única per ser estrictament decreixent. Anàlogament a $[1, 3]$, amb $f(1) < 0$ i $f(3) > 0$, té una arrel a $(1, 3)$, que és única per ser estrictament creixent. Així, té exactament dues arrels a $[-1, 3]$.