Problema 6 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Setembre Serie 3 2022

La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d'una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla $y = 0$ i l'altra és al pla $x = 0$.

En el punt $A = (2, 0, 2)$ hi volem penjar un altaveu que ha d'estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l'altra paret, en el punt $B = (0, 2, 1)$. La connexió entre $A$ i $B$ la farem mitjançant un cable que passi pel punt $C = (0, 0, h)$, situat a la recta vertical d'intersecció de les dues parets. Com que la qualitat del so depèn, entre altres factors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instal·lació amb el mínim de cable possible.

a)

Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció de l'altura $h$ per on ha de passar el cable a l'eix vertical $OZ$, ve donada per l'expressió

$$L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}.$$

[0,75 punts]

b)

Calculeu les coordenades del punt $C$ per on ha de passar el cable per tal que la longitud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable.

[1,75 punts]