Problema 4 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 5 2023

4. En una carretera principal hi trobem el poble $A$. A $12\text{ km}$ del poble $A$, hi ha un encreuament $O$ amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A $9\text{ km}$ de l'encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble $B$. Es vol construir una torre de comunicacions $T$ en un punt de la carretera principal situat entre el poble $A$ i l'encreuament $O$. Aquesta torre ha d'estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $B$ té un preu de $250\text{ €/km}$ i, en canvi, instal·lar el cable entre la torre $T$ i el poble $A$ té un preu de $125\text{ €/km}$. Determineu a quina distància de l'encreuament $O$ a la carretera principal cal situar la torre $T$ perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d'aquest preu mínim. [2,5 punts]