Aufgabe 2 - 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

a)

Begründen Sie, dass $h_k$ nur die Nullstelle $x = 0$ hat.

Geben Sie den Grenzwert von $h_k$ für $x \to +\infty$ an.

$\lim\limits_{x \to +\infty} h_k(x) =$