Aufgabe 1 - 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2020)

Aufgabenstellung

Der Graph einer in $[0;3]$ definierten ganzrationalen Funktion $g$ geht im Punkt $A(0 \mid 1{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = 1{,}5$ über und im Punkt $B(3 \mid -0{,}5)$ ohne Knick in die Gerade mit der Gleichung $y = -4x + 11{,}5$ .

1 Aufgabe

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -\frac{8}{27}x^3 + \frac{2}{3}x^2$ , die die Nullstellen $0$ und $\frac{9}{4}$ hat. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Bestimmen Sie Lage und Art der Extrempunkte von $G_f$ . Skizzieren Sie $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Informationen sowie des Funktionswerts für $x = -2$ in einem geeigneten Koordinatensystem. [7 BE]

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $\left(\frac{9}{4} \Big| 0\right)$ wird mit $t$ bezeichnet. Weisen Sie nach, dass $t$ durch den Punkt $\left(0 \Big| \frac{27}{8}\right)$ verläuft. Begründen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks, das $G_f$ im ersten Quadranten mit $t$ und der y-Achse einschließt, kleiner als $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{27}{8}$ ist. [5 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Tiefpunkt von G_f

Lösung: (0|0)

a) Hochpunkt von G_f

Lösung: (3/2|1/2)

a) Skizzieren Sie G_f unter Berücksichtigung der bisherigen Informationen sowie des Funktionswerts für x = -2 in einem geeigneten Koordinatensystem.

Lösung: Funktionswert bei $x = -2$ : $f(-2) = -\frac{8}{27}(-8) + \frac{2}{3}(4) = \frac{64}{27} + \frac{72}{27} = \frac{136}{27} \approx 5{,}0$ Der Graph verläuft durch $(-2 | 5{,}0)$ , hat bei $(0|0)$ einen Tiefpunkt (zugleich Nullstelle), steigt zum Hochpunkt $\left(\frac{3}{2} \Big| \frac{1}{2}\right)$ auf und fällt durch die Nullstelle $\left(\frac{9}{4} \Big| 0\right)$ ab.

b) Weisen Sie nach, dass t durch den Punkt (0 | 27/8) verläuft. Begründen Sie, dass der Inhalt des Flächenstücks, das G_f im ersten Quadranten mit t und der y-Achse einschließt, kleiner als 1/2 * 9/4 * 27/8 ist.

Lösung: Nachweis für t: $f'\left(\frac{9}{4}\right) = -\frac{3}{2}$ , Gleichung der Tangente $y = -\frac{3}{2}x + \frac{27}{8}$ , somit Schnittpunkt mit der y-Achse $\left(0 \Big| \frac{27}{8}\right)$ . Begründung: Der angegebene Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks an, das die Koordinatenachsen mit der Tangente einschließen. Für $0 < x < \frac{9}{4}$ verläuft $G_f$ innerhalb dieses Dreiecks.

Die ausführliche Erklärung Schritt für Schritt (mit KI) gibt es mit Premium. Premium

Löse sie direkt hier: automatische Korrektur, Hinweise und Lösung Schritt für Schritt.

‹ Aufgabe CAS 2 · 2 - Differentialrechnung · LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020 · Aufgabe 1 - 2 - Differentialrechnung · LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020 ›

Aufgabe 1 - 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Aufgabenstellung

Lösung

Mehr Aufgaben zu Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte