Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2020

Betrachtet wird die Entwicklung von Populationen weiblicher Säugetiere derselben Art. Nur im ersten Lebensjahr sind die Tiere unreif, im zweiten Lebensjahr werden sie als jung, anschließend als alt bezeichnet. Die Zusammensetzungen solcher Populationen können durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} u \\ j \\ a \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $u$ die Anzahl der unreifen, $j$ die Anzahl der jungen und $a$ die Anzahl der alten Säugetiere bezeichnet.

Die Entwicklung einer solchen Population von einem Jahr $n$ zum nächsten kann modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = L \cdot \vec{v}_n$ mit $L = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0{,}75 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}8 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Zu Beobachtungsbeginn besteht die Population aus 24 unreifen, 46 jungen und 6 alten Tieren.

a)

Beschreiben Sie die Bedeutung der Einträge 2 und 0,8 von $L$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b)

Zeigen Sie, dass das Modell zur Beschreibung der Entwicklung der Population vor Beobachtungsbeginn nicht geeignet ist. [2 BE]

c)

Bei bestimmten Zusammensetzungen der Population wachsen die Anzahlen der Tiere in den drei Entwicklungsstadien von einem Jahr zum nächsten mit dem gleichen Faktor. Bestimmen Sie diesen Faktor und beschreiben Sie diese Zusammensetzungen. [3 BE]

Die Entwicklung einer zweiten Population von einem Frühjahr $n$ zum nächsten kann durch die Gleichung $\vec{w}_{n+1} = N \cdot M \cdot \vec{w}_n$ dargestellt werden. Dabei beschreibt $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \frac{4}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{9}{10} & \frac{4}{5} \end{pmatrix}$ die Entwicklung vom Frühjahr zum folgenden Herbst und $N = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & \frac{5}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{5}{6} \end{pmatrix}$ mit $0 < k < 1$ die Entwicklung vom Herbst zum folgenden Frühjahr. Zu Beobachtungsbeginn in einem Frühjahr besteht diese zweite Population aus 225 unreifen, 225 jungen und 225 alten Tieren.

d)

Geben Sie den Eintrag in der ersten Zeile und dritten Spalte der Matrix $N \cdot M$ an und beschreiben Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang. Begründen Sie den Wert dieses Eintrags mit der Entwicklung von Frühjahr bis Herbst und der Entwicklung von Herbst bis Frühjahr. [3 BE]

e)

Bestimmen Sie für $k = \frac{4}{5}$ die Zusammensetzung der zweiten Population zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn. [2 BE]

$u =$

$j =$

$a =$

f)

Für einen Wert von $k$ gibt es Zusammensetzungen der zweiten Population, die sich von einem Frühjahr zum nächsten nicht verändern. Bestimmen Sie diesen Wert von $k$ sowie eine solche Zusammensetzung. [3 BE]

$u =$

$j =$

$a =$

g)

Die zweite Population bestand eineinhalb Jahre vor Beobachtungsbeginn aus 1053 Tieren. Bestimmen Sie den Wert von $k$ und die Zusammensetzung der zweiten Population eineinhalb Jahre vor Beobachtungsbeginn. [5 BE]

$u =$

$j =$

$a =$