Aufgabe CAS 1 · 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v_t$ mit

$$v_t(x) = \left(\frac{x}{t}\right)^2 \cdot (x - t)^2 + 1 \quad \text{und} \quad t \in \mathbb{R}^+.$$

b)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $v_8$.

[2 BE]

$H($

$\mid$

$)$

c)

Das Gleichungssystem

$$\text{I}\quad v_8(x) = m \cdot x + 1 \qquad\qquad \text{II}\quad v'_8(x) = m$$

hat unter anderem die beiden Lösungen $x_1 = \frac{8}{3}$ und $m_1 = \frac{32}{27}$ sowie $x_2 = 8$ und $m_2 = 0$. Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Lösungen für den Graphen von $v_8$ unter Berücksichtigung beider Gleichungen.

[4 BE]

d)

Zeigen Sie, dass der Graph von $v_t$ genau zwei Wendepunkte hat, deren $y$-Koordinaten den Wert $\frac{1}{36}t^2 + 1$ haben.

[3 BE]

e)

Der Wendepunkt des Graphen von $v_t$ mit der kleineren $x$-Koordinate sowie die Punkte $P\left(\frac{t}{2} \mid 0\right)$ und $Q\left(\frac{t}{2} \mid v_t\left(\frac{t}{2}\right)\right)$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $t$ gibt, für den dieses Dreieck rechtwinklig ist.

[4 BE]