Aufgabe 3 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k: x \mapsto \mathrm{e}^{kx} - x - 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Für die erste Ableitungsfunktion von $f_k$ gilt $f_k'(x) = k \cdot \mathrm{e}^{kx} - 1$.

c)

Beim Ableiten von $f_k$ wurde die folgende Regel angewendet:

Betrachtet man differenzierbare Funktionen $u$, $v$ und $w$ mit $w(x) = v(u(x))$, so hat die erste Ableitungsfunktion von $w$ den Term $w'(x) = v'(u(x)) \cdot u'(x)$.

Stellen Sie den Zusammenhang zwischen dem Ableiten von $f_k$ und dieser Regel her, indem Sie für $u$, $v$ und $w$ jeweils einen passenden Funktionsterm angeben. [3 BE]

d)

Weisen Sie nach, dass alle Graphen $G_k$ weder Hochpunkte noch Wendepunkte haben. [5 BE]

Für positive Werte von $k$ hat $G_k$ den Tiefpunkt $T_k\left(-\frac{\ln k}{k} \;\middle|\; \frac{\ln k}{k} - 1 + \frac{1}{k}\right)$.

e)

Ermitteln Sie den Abstand von $T_k$ zur Gerade mit der Gleichung $y = -x - 1$. [5 BE]

f)

Für $k \to +\infty$ nähert sich $T_k$ einem Punkt $A$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $A$. [2 BE]

g)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $G_k$ im Koordinatenursprung einen Steigungswinkel der Größe $60^\circ$ hat. [2 BE]

h)

Betrachtet wird die folgende Behauptung:

Zu zwei beliebigen verschiedenen Graphen $G_{k_1}$ und $G_{k_2}$ gibt es einen Wert von $x$, für den die beiden Graphen die gleiche Steigung haben.

Unter der Voraussetzung, dass $k_1$ und $k_2$ positiv sind, ist die Behauptung richtig; bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $x$. [3 BE]

Entscheiden Sie, ob die Behauptung auch dann richtig sein kann, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]

Kann die Behauptung auch dann richtig sein, wenn entweder $k_1$ oder $k_2$ nicht positiv ist?